【題目】如圖,直線l:y=﹣x+1與x軸,y軸分別交于A,B兩點,點P,Q是直線l上的兩個動點,且點P在第二象限,點Q在第四象限,∠POQ=135°.

1求△AOB的周長;

2設AQ=t>0,試用含t的代數(shù)式表示點P的坐標;

3當動點P,Q在直線l上運動到使得△AOQ與△BPO的周長相等時,記tan∠AOQ=m,若過點A的二次函數(shù)y=ax2+bx+c同時滿足以下兩個條件:

①6a+3b+2c=0;

②當m≤x≤m+2時,函數(shù)y的最大值等于,求二次項系數(shù)a的值.

【答案】1△AOB周長為2+2P,1+3a的值為或﹣2﹣2.

【解析】

試題分析:1先求出A、B坐標,再求出OB、OA、AB即可解決問題.2由△PBO∽△OAQ,得=,求出PB,再根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)可以求得點P坐標.3先求出m的值,分①a>0,②a<0,兩種情形,利用二次函數(shù)性質(zhì)分別求解即可.

試題解析:1在函數(shù)y=﹣x+1中,令x=0,得y=1,

∴B0,1,

令y=0,得x=1,

∴A1,0,

則OA=OB=1,AB=,

∴△AOB周長為1+1+=2+

2∵OA=OB,

∴∠ABO=∠BAO=45°,

∴∠PBO=∠QAO=135°,

設∠POB=x,則∠OPB=∠AOQ=135°﹣x﹣90°=45°﹣x,

∴△PBO∽△OAQ,

=

∴PB==,

過點P作PH⊥OB于H點,

則△PHB為等腰直角三角形,

∵PB=,

∴PH=HB=,

∴P,1+

32可知△PBO∽△OAQ,若它們的周長相等,則相似比為1,即全等,

∴PB=AQ,

=t,

∵t>0,

∴t=1,

同理可得Q1+,﹣,

∴m==﹣1,

∵拋物線經(jīng)過點A,

∴a+b+c=0,

又∵6a+3b+2c=0,

∴b=﹣4a,c=3a,

對稱軸x=2,取值范圍﹣1≤x+1,

①若a>0,則開口向上,

由題意x=﹣1時取得最大值=2+2,

﹣12a+﹣1b+c=2+2,

解得a=

②若a<0,則開口向下,

由題意x=2時取得最大值2+2,

即4a+2b+c=2+2,

解得a=﹣2﹣2.

綜上所述所求a的值為或﹣2﹣2.

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