Question

【題目】如圖 ，已知直線l1，l2，點P在直線l3上且不與點A、B重合．記∠AEP=∠1，∠BFP=∠2，∠EPF=∠3．

（1） 如圖 ，若直線l1//l2，點P在線段AB（A、B兩點除外）上運動時，寫出∠1、∠2、∠3之間的關系，并說明理由．

（2）如圖 ，若（1）中∠1、∠2、∠3之間的關系成立，你能不能反向推出直線l1//l2？若成立請說明理由．

（3）如圖 ，若直線l1//l2，若點P在A、B兩點外側運動時（不包括線段AB），請直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關系．

Answer 1

【答案】（1）∠3＝∠1＋∠2，理由見解析．（2）可以反推直線l1//l2.理由見解析.（3）當點P在A點上方時，∠3＝∠2∠1．當點P在B點下方時，∠3＝∠1∠2．

【解析】

（1）過P作直線l1、l2的平行線，利用平行線的性質(zhì)得到∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF，然后結合這些等角和∠3的位置關系，即可∠1、∠2、∠3的數(shù)量關系；

（2）過點P作PQ1平行l1，由PQ1平行l1，得到∠1＝∠Q1PE；又由∠3＝∠Q1PE＋∠Q1PF，且∠3＝∠1＋∠2，得到∠2＝∠QPF，再根據(jù)平行線的判定法則進行求解即可得到答案.

（3）本題分兩種情況討論：當點P在A點上方時，過點P作PQ2∥l1∥l2，結合題意可得∠1＝∠Q2PE、∠2＝∠Q2PF；又由∠3＝∠Q2PF∠Q2PE，可得∠3＝∠2∠1．當點P在B點下方時，過點P作PQ3∥l1∥l2，則有圖可知：∠1＝∠Q3PE、∠2＝∠Q3PF；根據(jù)∠3＝∠Q3PE ∠Q3PF，可得∠3＝∠1∠2．

（1）過P作PQ∥l1∥l2，

由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；
∵∠3＝∠QPE＋∠QPF，
∴∠3＝∠1＋∠2．
（2）可以反推直線l1//l2.理由具體如下：

過點P作PQ1平行l1，如下圖（2）所示：

因為PQ1平行l1，所以∠1＝∠Q1PE；又因為∠3＝∠Q1PE＋∠Q1PF，且∠3＝∠1＋∠2，所以可得∠2＝∠QPF，則根據(jù)平行線的判定法則：內(nèi)錯角相等，兩直線平行可知PQ1平行l2；又由于PQ1平行l1，PQ1平行l2，所以l1//l2.故反推成立.

（3）當點P在A點上方時，過點P作PQ2∥l1∥l2，如下圖所示：

則：∠1＝∠Q2PE、∠2＝∠Q2PF；
∵∠3＝∠Q2PF∠Q2PE，
∴∠3＝∠2∠1．

當點P在B點下方時，過點P作PQ3∥l1∥l2，如下圖所示：

根據(jù)題意我們設∠1＝∠PEA、∠2＝∠PFB、∠3＝∠EPF；則有圖可知：∠1＝∠Q3PE、∠2＝∠Q3PF；
∵∠3＝∠Q3PE ∠Q3PF，
∴∠3＝∠1∠2．