Question

如圖，點E是矩形ABCD中CD邊上一點，△BCE沿BE折疊為△BFE，點F落在AD上．
（1）求證：△ABF∽△DFE；
（2）若△BEF也與△ABF相似，請求出∠BEC的度數(shù)．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠C=90°．
∵△BCE沿BE折疊為△BFE，
∴∠BFE=∠C=90°
∴∠3+∠1=180°-∠BFE=90°
又∵∠3+∠2=90°
∴∠1=∠2，
∴△ABE∽△DFE；

（2）解：∵由（1）知，∠1+∠3=90°，
∴當△BE也與△ABF相似，分兩種情況：△ABF∽△FBE；△ABF∽△FEB．
①當△ABF∽△FBE時，∠2=∠4．
∵∠4=∠5，∠2+∠4+∠5=90°，
∴∠2=∠4=∠5=30°，
∴∠BEC=90°-30°=60°；
②當△ABF∽△FEB時，∠2=∠6，
∵∠4+∠6=90°，
∴∠2+∠4=90°，
這與∠2+∠4+∠5=90°相矛盾，
∴△ABF∽△FEB不成立．
綜上所述，∠BEC的度數(shù)是60°．
分析：（1）由矩形的性質推知∠A=∠D=∠C=90°．然后根據(jù)折疊的性質，等角的余角相等推知∠ABF=∠DFE，易證得△ABE∽△DFE；
（2）需要分類討論：①△ABF∽△FBE；②△ABF∽△FEB時求出∠BEC的度數(shù)．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質．解答（2）題時，要分類討論，以防漏解．另外，解答（2）題時，充分利用了“相似三角形的對應角相等”的性質．