Question

如圖，在△ABC中，AB=8，AC=6，BC=4，點D、E分別在邊AB、AC上，DE與BC的延長線相交于點F，且FC•FB=FE•FD．
（1）求證：△ADE∽△ACB；
（2）如果△ADE的周長與四邊形BCED的周長相等，求DE的長．

Answer 1

（1）證明：∵FC•FB=FE•FD，
∴．
∵∠F=∠F，
∴△FCE∽△FDB．
∴∠FEC=∠B．
∵∠AED=∠FEC，
∴∠AED=∠B．
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．

（2）解：∵△ADE∽△ACB，
∴，
∵AB=8，AC=6，BC=4，
∴．
∴．
設(shè)AD=3k，AE=4k，ED=2k．
∵AD+AE+DE=DE+BD+BC+CE，
∴AD+AE=BD+BC+CE=（AB+BC+AC）．
∴，
∴
∴DE=2．
分析：（1）首先由FC•FB=FE•FD，∠F=∠F可以證明△FCE∽△FDB，然后利用相似三角形的性質(zhì)得到∠FEC=∠B，又∠AED=∠FEC，由此得到∠AED=∠B，又∠A=∠A，由此即可證明△ADE∽△ACB；
（2）由△ADE的周長與四邊形BCED的周長相等可以得到△ADE∽△ACB的相似比，然后利用已知條件即可求出DE的長．
點評：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，解題時首先利用已知比例線段證明三角形相似，然后利用相似三角形的性質(zhì)證明題目要求的三角形相似，最后利用周長比和相似比的關(guān)系解決問題．