Question

【題目】如圖，△ABC是⊙O的內接圓，且AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，BD平分∠ABC交AC于點E，DF⊥BC交BC延長線于點F．

（1）求證：DF是⊙O的切線．

（2）若，求DE的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析（2）

【解析】

（1）連接OD，根據角平分線的定義得到∠ABD＝∠DBF，由等腰三角形的性質得到∠ABD＝∠ODB，等量代換得到∠DBF＝∠ODB，推出∠ODF＝90°，根據切線的判定定理得到結論；

（2）連接AD，根據圓周角定理得到∠ADE＝90°，根據角平分線的定義得到∠DBF＝∠ABD，解直角三角形得到AD＝3，求得DE＝．

解：（1）連接OD，

∵BD平分∠ABC交AC于點E，

∴∠ABD＝∠DBF，

∵OB＝OD，

∴∠ABD＝∠ODB，

∴∠DBF＝∠ODB，

∵∠DBF+∠BDF＝90°，

∴∠ODB+∠BDF＝90°，

∴∠ODF＝90°，

∴FD是⊙O的切線；

（2）連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADE＝90°，

∵BD平分∠ABC交AC于點E，

∴∠DBF＝∠ABD，

在Rt△ABD中，BD＝4，

∵sin∠ABD＝sin∠DBF＝，

∴AD＝3，

∵∠DAC＝∠DBC，

∴sin∠DAE＝sin∠DBC＝，

在Rt△ADE中，sin∠DAC＝，

∴DE＝．