(2012•河北區(qū)三模)用長(zhǎng)度一定的不銹鋼材料設(shè)計(jì)成外觀為矩形的框架(如圖①②③中的一種)(題中的不銹鋼材料總長(zhǎng)度均指各圖中所有黑線的長(zhǎng)度和,所有橫檔和豎檔分別與AD、AB平行,材料本身面積忽略不計(jì)),設(shè)豎檔AB=x米,請(qǐng)根據(jù)以上圖案回答下列問(wèn)題:

(Ⅰ)在圖①中,不銹鋼材料總長(zhǎng)度為12米,則AD表達(dá)式為
4-x
4-x
,若矩形框架ABCD的面積為3平方米,則可列方程為
x(4-x)=3
x(4-x)=3

(Ⅱ)在圖②中,不銹鋼材料總長(zhǎng)度為12米,則AD表達(dá)式為
4-
4
3
x
4-
4
3
x
,若矩形框架ABCD的面積為S,請(qǐng)寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式
S=4x-
4
3
x2
S=4x-
4
3
x2

(Ⅲ)在圖③中,如果不銹鋼材料總長(zhǎng)度為a米,共有n條豎檔,寫出矩形框架ABCD的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式
a-nx
3
x
a-nx
3
x
;當(dāng)x為
a
2n
a
2n
時(shí),S有最大面積等于
a2
12n
a2
12n
分析:(I)由題意可得3AD+3AB=12,從而可得出AD的表達(dá)式;根據(jù)矩形的面積=長(zhǎng)×寬,可得出方程;
(II)由題意可得3AD+4AB=12,從而可得出AD的表達(dá)式;根據(jù)矩形的面積=長(zhǎng)×寬,可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式;
(III)由題意可得3AD+nAB=a,從而可得出AD的表達(dá)式,根據(jù)矩形的面積=長(zhǎng)×寬,可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式,利用配方法可求出S的最大值.
解答:解:(I)AD=
12-3x
3
=4-x,則若矩形框架ABCD的面積為3平方米,則可列方程為:x(4-x)=3;

(II)AD=
12-4x
3
=4-
4
3
x,
S=x×(4-
4
3
x)=4x-
4
3
x2;

(III)AD=
a-nx
3
,
S=AD×AB=
a-nx
3
x=-
n
3
x2+
a
3
x=-
n
3
(x-
a
2n
2+
a2
12n
,
當(dāng)x=
a
2n
時(shí),S有最大值,最大面積為
a2
12n

故答案為:4-x、x(4-x)=3;4-
4
3
x、S=4x-
4
3
x2;
a-nx
3
x、
a
2n
、
a2
12n
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是得出AD的表達(dá)式,根據(jù)矩形的面記公式得出函數(shù)解析式,注意掌握配方法求最值得應(yīng)用.
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