Question

在平面直角坐標系中，已知點A（-2，-4），OB=2，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A、O、B三點．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）在此拋物線上，是否存在點P，使得以點P與點O、A、B為頂點的四邊形是梯形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定B點坐標為（2，0），設(shè)拋物線的交點式為y=ax（x-2），把B點坐標代入可求出a得到拋物線的函數(shù)表達式為y=-x（x-2）=-x²+x；
（2）分類討論：當P₁A∥OB，點P₁與點A拋物線上的對稱點，利用拋物線的對稱軸為直線x=1，易得P₁的坐標為（4，-4）；當BP₂∥OA，先求出直線OA的解析式為y=2x，
則可直線BP₂的解析式為y=2x+b，再把B點坐標代入可得到直線BP₂的解析式為y=2x-4，然后把拋物線的解析式和直線BP₂的解析式組成方程組，解方程即可得到P₂的坐標．
解答：解：（1）∵OB=2，
∴B點坐標為（2，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x-2），
把A（-2，-4）代入得-4=a•（-2）•（-2-2），解得a=-，
故拋物線的函數(shù)表達式為y=-x（x-2）=-x²+x；

（2）存在．理由如下：
當P₁A∥OB，過A點作AP₁交拋物線于P₁，如圖，則四邊形OABP₁為梯形，
∴點P₁與點A拋物線上的對稱點，
而拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴P₁的坐標為（4，-4）；
當BP₂∥OA，即過B點作BP₂∥OA交拋物線于P₂，如圖，則四邊形OAP₂B為梯形，
直線OA的解析式為y=2x，
設(shè)直線BP₂的解析式為y=2x+b，
把B（2，0）代入得4+b=0，解得b=-4，
∴直線BP₂的解析式為y=2x-4，
解方程組，得或，
∴P₂的坐標為（-4，-12），
∴滿足條件的P點坐標為（4，-4）、（-4，-12）．
點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象為拋物線，其頂點式為y=a（x-）²+，對稱軸為直線x=-；兩函數(shù)圖象的交點坐標滿足兩函數(shù)的解析式．