Question

如圖，PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，過A作OP的垂線AB，垂足為點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)B．延長BO與⊙O交于點(diǎn)B，延長BO與⊙O交于點(diǎn)D，與PA的延長線交于點(diǎn)E，

（1）求證：PB為⊙O的切線；

（2）若OC：BC=2：3，求sinE的值．

Answer 1

【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)．

【分析】（1）連接OA，由SSS證明△PBO≌△PAO，得出∠PBO=∠PAO=90°即可；

（2）連接AD，證明△ADE∽△POE，得到=，證出OC是△ABD的中位線，由三角形中位線定理得出AD=2OC，由已知設(shè)OC=2t，則BC=3t，AD=4t．由△PBC∽△BOC，可求出sin∠E的值．

【解答】（1）證明：連接OA，如圖1所示：

∵PA為⊙O的切線，

∴∠PAO=90°，

∵OA=OB，OP⊥AB于C，

∴BC=CA，PB=PA，

在△PBO和△PAO中，，

∴△PBO≌△PAO（SSS），

∴∠PBO=∠PAO=90°，

∴PB為⊙O的切線；

（2）解：連接AD，如圖2所示：

∵BD是直徑，∠BAD=90°

由（1）知∠BCO=90°

∴AD∥OP，

∴△ADE∽△POE，

∴=，

∵BC=AC，OB=OD，

∴OC是△ABD的中位線，

∴AD=2OC，

∵OC：BC=2：3，

設(shè)OC=2t，則BC=3t，AD=4t．

∵∠OBC+∠PBC=90°，∠BOC+∠OBC=90°，

∴∠BOC=∠PBC，

∵∠OCB=∠BCP，

∴△PBC∽△BOC，

∴，即，

∴PC=t，OP=t．

∴==，

設(shè)EA=8m，EP=13m，則PA=5m．

∵PA=PB，

∴PB=5m，

∴sinE==．

【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理等知識；熟練掌握切線的判定，能夠通過作輔助線將所求的角轉(zhuǎn)移到相應(yīng)的直角三角形中是解答問題（2）的關(guān)鍵．