Question

（本題滿分12分）

【問題情境】

徐老師給愛好學(xué)習(xí)的小敏和小捷提出這樣一個問題：

如圖1，△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分線．求證：AB+BD=AC

小敏的證明思路是：在AC上截取AE=AB，

連接DE．（如圖2）

小捷的證明思路是：延長CB至點E，使BE=AB，連接AE．可以證得：AE=DE（如圖3）

請你任意選擇一種思路繼續(xù)完成下一步的證明．

【變式探究】

“AD是∠BAC的平分線”改成“AD是BC邊上的高”，其它條件不變．（如圖4）

AB+BD=AC成立嗎？若成立，請證明；若不成立，寫出你的正確結(jié)論，并說明理由．

【遷移拓展】

△ABC中，∠B=2∠C．求證：．（如圖5）

Answer 1

證明見試題解析．

【解析】

試題分析：小敏的證明思路是：在AC上截取AE=AB，連接DE．

由SAS證明△ABD≌△AED，得到BD=DE，∠ABD=∠AED，由∠AED=∠EDC+∠C和∠B=2∠C，得到∠EDC=∠C，從而有 DE=EC，故AB+BD=AC；

小捷的證明思路是：延長CB至點E，使BE=AB，連接AE，則∠E=∠BAE，∠ABC=2∠E，由∠ABC=2∠C，得到∠E=∠C， AE=AC，再證△AED是等腰三角形，得到EA=ED=AC，故AB+BD=AC；

【變式探究】

AB+BD=AC不成立，正確結(jié)論：AB+BD=CD，在CD上截取DE=DB，由AD⊥BC，得到 AD是BE的中垂線，故AE=AB，∠B=∠AED，證明∠C=∠CAE，得到 AE=EC，即AB+BD=CD；

【遷移拓展】

過點A作AD⊥BC于D，由勾股定理得：，，故=（CD－BD）（CD+BD）=BC（CD－BD），由AB+BD=CD ，得到 CD-BD=AB，

故= BC（CD－BD）=BC·AB，即．

試題解析：小敏的證明思路是：在AC上截取AE=AB，連接DE．（如圖2）

∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠EAD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AED，∴BD=DE，∠ABD=∠AED，又∵∠AED=∠EDC+∠C，∠B=2∠C，∴∠EDC=∠C，∴ DE=EC，即AB+BD=AC；

小捷的證明思路是：延長CB至點E，使BE=AB，連接AE，則∠E=∠BAE，∴∠ABC=2∠E，∵∠ABC=2∠C，∴∠E=∠C，∴AE=AC，∵∠ADE=∠DAC+∠C，∠DAE=∠BAD+∠BAE，又∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠DAC，∴∠ADE=∠DAE，∴△AED是等腰三角形，∴EA=ED=AC，∴AB+BD=AC；

【變式探究】

AB+BD=AC不成立 正確結(jié)論：AB+BD=CD，證明如下：

在CD上截取DE=DB，∵AD⊥BC，∴ AD是BE的中垂線，∴AE=AB，∴∠B=∠AED，∵∠AED =∠C+∠CAE，∵∠B=2∠C，∴∠C=∠CAE，∴ AE=EC，即AB+BD=CD；

【遷移拓展】

證明：過點A作AD⊥BC于D，由勾股定理得：，，∴=（CD－BD）（CD+BD）=BC（CD－BD），∵AB+BD=CD ，∴ CD-BD=AB，∴= BC（CD－BD）=BC·AB，即．

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)．