Question

設(shè)A=100!=12ⁿ•M，其中M，n均是自然數(shù)，則n的最大值是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：取整計(jì)算

專題：

分析：分別找到1至100中包含質(zhì)因數(shù)3的次數(shù)，包含質(zhì)因數(shù)2的次數(shù)，從而得到100!的結(jié)果包含因數(shù)12的次數(shù)，從而求解．

解答：解：1至100中，
3¹的倍數(shù)共有100÷3個(gè)，整商=33個(gè)；
3²的倍數(shù)共有100÷（3×3），整商=11個(gè)；
3³的倍數(shù)共有100÷（3×3×3），整商=3個(gè)；
3⁴的倍數(shù)共有100÷（3×3×3×3），整商=1個(gè)；
所以100!的結(jié)果包含質(zhì)因數(shù)3的次數(shù)是33+11+3+1=48．
2¹的倍數(shù)共有100÷2，整商=50個(gè)；
2²的倍數(shù)共有100÷（2×2），整商=25個(gè)；
2³的倍數(shù)共有100÷（2×2×2），整商=12個(gè)；
2⁴的倍數(shù)共有100÷（2×2×2×2），整商=6個(gè)；
2⁵的倍數(shù)共有100÷（2×2×2×2×2），整商=3個(gè)；
2⁶的倍數(shù)共有100÷（2×2×2×2×2×2），整商=1個(gè)；
所以100!的結(jié)果包含質(zhì)因數(shù)2的次數(shù)是50+25+12+6+3+1=97；
2⁹⁷=4⁴⁸×2，
3⁴⁸×4⁴⁸=12⁴⁸．
所以，100!的結(jié)果包含因數(shù)12的次數(shù)是48．
故n的最大值是48．

點(diǎn)評(píng)：考查了取整計(jì)算，簡(jiǎn)單解答：100!中含有3⁴⁸和2⁹⁷（也就是4⁴⁸×2），依此可得100!的結(jié)果包含因數(shù)12的次數(shù)．