【題目】已知拋物線y=ax2+bx+4在坐標(biāo)系中的位置如圖所示,它與x,y軸的交點分別為A(﹣1,0),B,P是其對稱軸x=1上的動點,根據(jù)圖中提供的信息,得出以下結(jié)論:

①2a+b=0,

②x=3是方程ax2+bx+4=0的一個根,

PAB周長的最小值是5+,

④9a+4<3b.

其中正確的是( )

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

【答案】D

【解析】

試題分析:①根據(jù)對稱軸方程求得a、b的數(shù)量關(guān)系;

②根據(jù)拋物線的對稱性知拋物線與x軸的另一個交點的橫坐標(biāo)是3;

③利用兩點間直線最短來求PAB周長的最小值;

④根據(jù)圖象知,當(dāng)x=﹣3時,y<0,得到9a﹣3b+4<0,即9a+4<3b.

解:①根據(jù)圖象知,對稱軸是直線x=﹣=1,則b=﹣2a,即2a+b=0.

故①正確;

②根據(jù)圖象知,點A的坐標(biāo)是(﹣1,0),對稱軸是x=1,則根據(jù)拋物線關(guān)于對稱軸對稱的性質(zhì)知,拋物線與x軸的另一個交點的坐標(biāo)是(3,0),所以x=3是ax2+bx+3=0的一個根,故②正確;

③如圖所示,點A關(guān)于x=1對稱的點是A′,即拋物線與x軸的另一個交點.

連接BA′與直線x=1的交點即為點P,

PAB周長的最小值是(BA′+AB)的長度.

A(﹣1,0),B(0,4),A′(3,0),

AB=,BA′=5.即PAB周長的最小值是5+

故③正確;

④根據(jù)圖象知,當(dāng)x=﹣3時,y<0,

9a﹣3b+4<0,即9a+4<3b,

故④正確.

綜上所述,正確的結(jié)論是:①②③④.

故選D.

練習(xí)冊系列答案
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