Question

如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是拋物線y=x²在第一象限上的一個(gè)點(diǎn)，連結(jié)OA，過點(diǎn)A作AB⊥OA，交y軸于點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為n．

【探究】：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是

 

； 
（2）當(dāng)n=2時(shí)，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是

 

；
（3）點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是

 

（用含n的代數(shù)式表示）．
【應(yīng)用】：
如圖②，將△OAB繞著斜邊OB的中點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，得到△BCO．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含n的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C也隨之運(yùn)動(dòng)．當(dāng)1≤n≤5時(shí)，線段OC掃過的圖形的面積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：探究；依據(jù)直角三角形的射影定理即可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)．
應(yīng)用：（1）依據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，（2）通過（1）可求得C₁、C₂的坐標(biāo)，從而得出矩形面積和三角形的面積，最后求得當(dāng)1≤n≤5時(shí)，線段OC掃過的圖形的面積．

解答：
解：探究（3）如圖1所示：設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為n，點(diǎn)A是拋物線y=x²在第一象限上的一個(gè)點(diǎn)；
∴A（n，n²）；
∴AD=n，OD=n²；
在Rt△AOB中，AD²=OD•BD；
設(shè)B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y₁，則n²=n²•（y₁-n²），
解得：y₁=n²+1，
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是 n²+1．

應(yīng)用：（1）點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是 n²+1，A點(diǎn)的縱坐標(biāo)是n²，
∴BD=1，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義可知CE=AD=n，OE=BD=1；
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-n，1）；

（2）當(dāng)n=1時(shí)C點(diǎn)的坐標(biāo)為C₁（-1，1），當(dāng)n=5時(shí)C點(diǎn)的坐標(biāo)為C₂（-5，1），如上圖所示；
S △OC1C2=

1

2

S 矩形OGC2H-S △OGC1=

1

2

×1×5-

1

2

×1×1=2．
∴當(dāng)1≤n≤5時(shí)，線段OC掃過的圖形的面積是2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的射影定理的應(yīng)用，全等三角形的性質(zhì)，直角坐標(biāo)系中面積求法是本題的關(guān)鍵．