Question

如圖，在正方形紙片ABCD中，對角線AC，BD交于點O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合．展開后，折痕DE分別交AB，AC于點G，E，連接GF．
（1）求∠AGD的度數；
（2）證明四邊形AEFG是菱形；
（3）證明BE=2OG．

Answer 1

分析：（1）根據折疊的性質我們能得出∠ADG=∠ODG，也就求出了∠ADG的度數，那么在三角形AGD中用三角形的內角和即可求出∠AGD的度數；
（2）我們根據折疊的性質就能得出AE=EF，AG=GF，只要再證出AE=AG就能得出AEFG是菱形，可用角的度數進行求解，（1）中應經求出了∠AGD的度數，那么就能求出∠AGE的度數，在直角三角形AED中，有了∠ADE的度數，就能求出∠AED的度數，這樣得出AE=AG后就能證出AEFG是菱形了．
（3）我們可通過相似三角形DEF和DOG得出EF和OG的比例關系，然后再在直角三角形BEF中求出BE和EF的關系，進而求出BE和OG的關系．

解答：解：（1）根據折疊的對稱性，可知∠ADG=∠BDG=22.5°．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DCG=45°，
∴∠AGD=45°+67.5°=112.5°．

證明：（2）由對稱性，可知AE=EF，AG=FG，
∴∠AEG=90°-22.50°=67.5°，
∴∠AGE=180°-112.5°=67.5°，
∴AE=AG，
∴AE=AG=EF=GF，
∴四邊形AEFG是菱形；

證明：（3）∵EF⊥BD，AO⊥BD，
∴EF∥AC，
∴△DOG∽△DFE，
∴

OG

EF

=

DO

DF

=

2

2

，
∴EF=

2

OG，
在直角三角形BEF中，∠EBF=45°，
∴BE=

2

EF=2OG．

點評：主要考查了正方形的性質，菱形的判定，相似三角形的判定和性質等知識點，根據折疊的性質的角和邊相等是解題的關鍵．折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．