Question

如圖，正方形ABCD中，M為DC的中點(diǎn)，N為BC上一點(diǎn)，BN=3NC，設(shè)∠MAN=α，則cosα的值等于（　�。�

• A、

  2

  5

  5

• B、

  1

  5

  5

• C、2
• D、

  1

  2

Answer 1

分析：設(shè)NC=a，則BN=3a，正方形的邊長(zhǎng)是4a．根據(jù)勾股定理的逆定理即可證得：△ANM是直角三角形．根據(jù)余弦的定義即可求解．

解答：解：設(shè)NC=a，則BN=3a，正方形的邊長(zhǎng)是4a．
在直角△ABN中，根據(jù)勾股定理可得：AN²=AB²+BN²=16a²+9a²=25a²，
則AN=5a；
在直角△ADM中，AM²=AD²+DM²=16a²+4a²=20a²，
則AM=2

5

a；
在直角△MNC中，MN²=NC²+MC²=a²+4a²=5a²．
∴AN²=NM²+AM²，
∴△ANM是直角三角形．
∴cosα=

AM

AN

=

2 5 a

5a

=

2

5

5

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，以及勾股定理的逆定理，正確證得△ANM是直角三角形是解題關(guān)鍵．