Question

已知：正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∠BAC的平分線AF交BD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，
求證：OE=CF．

Answer 1

【答案】分析：取AF的中點(diǎn)G，連接OG，根據(jù)三角形的中位線得出OG=FC，OG∥FC，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出∠OAB、∠ABO、∠OCB的度數(shù)，求出∠OEA和∠OGF的度數(shù)，推出OG=OE即可．
解答：證明：取AF的中點(diǎn)G，連接OG，
∵O、G分別是AC、AF的中點(diǎn)，
∴OG=FC，OG∥FC（三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半），
∵正方形ABCD，
∴∠OAB=∠ABO=∠OCB=45°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠OAF=22.5°，
∴∠GEO=90°-22.5°=67.5°，
∵GO∥FC，
∴∠AOG=∠OCB=45°，
∴∠OGE=67.5°，
∴∠GEO=∠OGE，
∴GO=OE，
∴OE=FC．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)正方形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的中位線，等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，三角形的角平分線等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．