Question

8．如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，且BE=DF，若∠EAF=30°，則sin∠EDF=$\frac{（\sqrt{3}-1）\sqrt{7+2\sqrt{3}}}{\sqrt{37}}$．

Answer 1

分析 首先證明△ABE≌△ADF，設(shè)正方形ABCD邊長為a，求出EC、ED即可解決問題．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠ADF=∠BAD=90°，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠ADF}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠FAD，
∵∠EAF=30°，
∴∠BAE=∠FAD=30°，
設(shè)正方形ABCD邊長為a，
則tan30°=$\frac{BE}{AB}$，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴EC=a-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，DE=$\sqrt{E{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7-2\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}$a
∴sin∠EDF=$\frac{EC}{ED}$=$\frac{a-\frac{\sqrt{3}}{3}a}{\frac{\sqrt{7-2\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}a}$=$\frac{（\sqrt{3}-1）•\sqrt{7+2\sqrt{3}}}{\sqrt{37}}$
故答案為$\frac{（\sqrt{3}-1）\sqrt{7+2\sqrt{3}}}{\sqrt{37}}$．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)三角形全等，學(xué)會設(shè)參數(shù)解決問題，屬于中考�？碱}型．