Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程kx²+（2k-3）x+k-3=0（k＜0）．
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x₁，x₂（其中x₁＞x₂），若一次函數(shù)y=（3k-1）x+b與正比例函數(shù)y=2kx的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x₁，kx₂），求一次函數(shù)和正比例函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）由于k＜0，計(jì)算△=（2k-3）²-4k（k-3）=9＞0，根據(jù)△的意義即可得到方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）先解方程得到x₁=-1，x₂=

3

k

-1，則得到P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，3-k），把它代入正比例函數(shù)y=2kx和一次函數(shù)y=（3k-1）x+b可求出k和b，即得到一次函數(shù)和正比例函數(shù)的解析式．

解答：（1）證明：∵k＜0，
∴△=（2k-3）²-4k（k-3）
=9＞0，
∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解原方程得：x=

3-2k±3

2k

，
∵k＜0，x₁＞x₂，
∴x₁=-1，x₂=

3

k

-1，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，3-k），
而正比例函數(shù)y=2kx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，
∴3-k=2k•（-1），解得k=-3，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，6），
而一次函數(shù)y=（3k-1）x+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，
∴6=（-3×3-1）×（-1）+b，解得b=-4，
∴正比例函數(shù)的解析式為：y=-6x，
一次函數(shù)的解析式為：y=-10x-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根；也考查了一元二次方程的定義．也考查了利用求根公式法解一元二次方程以及點(diǎn)在圖象上，點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足圖象的解析式．