Question

20．已知Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，P是邊AC上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)A、C），過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC，交AB于點(diǎn)F．設(shè)PC=x，
PE=y．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）是否存在點(diǎn)P使△PEF是Rt△？若存在，求此時(shí)的x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)可求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分三種情況：①如圖1，當(dāng)∠FPE=90°時(shí)，②如圖2，當(dāng)∠PFE=90°時(shí)，③當(dāng)∠PEF=90°時(shí)，進(jìn)行討論可求x的值．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，
∴sinC=$\frac{1}{2}$，
∵PE⊥BC于點(diǎn)E，
∴sinC=$\frac{PE}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
∵PC=x，PE=y，
∴y=$\frac{1}{2}$x（0＜x＜20）；
（2）存在點(diǎn)P使△PEF是Rt△，
①如圖1，當(dāng)∠FPE=90°時(shí)，四邊形PEBF是矩形，BF=PE=$\frac{1}{2}$x，
四邊形APEF是平行四邊形，PE=AF=$\frac{1}{2}$x，
∵BF+AF=AB=10，
∴x=10；
②如圖2，當(dāng)∠PFE=90°時(shí)，Rt△APF∽R(shí)t△ABC，
∠ARP=∠C=30°，AF=40-2x，
平行四邊形AFEP中，AF=PE，即：40-2x=$\frac{1}{2}$x，
解得x=16；
③當(dāng)∠PEF=90°時(shí)，此時(shí)不存在符合條件的Rt△PEF．
綜上所述，當(dāng)x=10或x=16，存在點(diǎn)P使△PEF是Rt△．

點(diǎn)評(píng) 考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，注意分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，難度中等．