Question

【題目】如圖，點(diǎn)是正方形的對(duì)角線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接.給出下列五個(gè)結(jié)論：①；②一定是等腰直角三角形；③一定是等腰三角形；④；⑤.其中正確結(jié)論的序號(hào)是( )

A. ①②③④B. ①②④⑤C. ②③④⑤D. ①③④⑤

Answer 1

【答案】B

【解析】

連接PC，根據(jù)正方形對(duì)角線的性質(zhì)及題中的已知條件，證明△ABP≌△CBP后即可證明AP=PC，再根據(jù)矩形對(duì)角線相等和角的有關(guān)性質(zhì)即可證明①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基礎(chǔ)上，根據(jù)正方形的對(duì)角線平分對(duì)角的性質(zhì)，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得⑤DP=EC，也可證明②的正確性，③只在特殊情況下成立．

證明：連接PC，

∵點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，
∴AB=CB，∠ABP=∠CBP= 45°，BP=BP

∴△ABP≌△CBP，

∴AP=PC，∠BCP=∠BAP，

又∵于點(diǎn)，于點(diǎn)，

∴四邊形PECF是矩形，PC=EF且互相平分，
①∴AP=EF正確；∠PFE=∠FEC=∠BCP
∴④∠PFE=∠BAP正確，

③∵點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，∠ADP=45°，
∴當(dāng)∠PAD=45°或67.5°或90°時(shí)，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，故③錯(cuò)誤．
∵PF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，即△DPF是等腰直角三角形，即②正確
∵矩形PECF中，PF=EC，
∴在等腰直角三角形△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
∴⑤DP=EC正確．
∴其中正確結(jié)論的序號(hào)是①②④⑤．

故選B．