Question

（觀察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，以上三個等式兩邊分別相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并寫出：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
（2）直接寫出下列各式的計算結果：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

49×50

=

49

50

；
（3）計算：

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2007×2009

．

Answer 1

分析：（1）分子為1，分母為相鄰2個數(shù)的積，結果等于分子為1，分母分別為2個因數(shù)的分數(shù)的差；
（2）化簡后，只剩首尾兩個數(shù)，相減即可；
（3）分子為1，分母為相差2的2個數(shù)的積，結果等于分子為1，分母分別為2個因數(shù)的分數(shù)的差，再乘以

1

2

，進而按照（2）得到的規(guī)律，計算即可；

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
故答案為

1

n

-

1

n+1

；

（2）原式=1-

1

50

=

49

50

；
故答案為

49

50

；

（3）原式=（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2007

-

1

2009

）×

1

2

=（1-

1

2009

）×

1

2

=

2008

2009

×

1

2

=

1004

2009

．

點評：考查數(shù)字的變化規(guī)律；得到分子為1，分母為等差數(shù)列的幾個分數(shù)的和的計算方法是解決本題的關鍵．