Question

已知：如圖，銳角△ABC的兩條高CD、BE相交于點O，且OB=OC．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）連接AO，判斷AO與BC的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵BE、CD是兩條高，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
又∵BC=CB，
∴△BDC≌△CEB（AAS）
∴∠EBC=∠DCB，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）答：AO⊥BC，理由如下：
解：連接AO并延長交BC于F，
在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC，
∴∠BAF=∠CAF，
∴點O在∠BAC的角平分線上，
∵AB=AC，
∴AF⊥BC，
即AO⊥BC，
分析：（1）根據(jù)已知條件證明△BDC≌△CEB即可證明AB=AC，進(jìn)而證明三角形ABC是等腰三角形；
（2）AO⊥BC，首先連接AO并延長交BC于F，由AB=AC，OB=OC，即可證得AF是BC的垂直平分線，又由三線合一的性質(zhì)，即可證得點O在∠BAC的角平分線上，利用等于三角形的性質(zhì)：三線合一即可證明AO⊥BC．
點評：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，以及垂直平分線的判定等知識．此題難度不大，注意等角對等邊與三線合一定理的應(yīng)用．