Question

如圖，直線y=kx+b（b＞0）與拋物線相交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，與x軸正半軸相交于點D，與y軸相交于點C，設△OCD的面積為S，且kS+32=0．
（1）求b的值；
（2）求證：點（y₁，y₂）在反比例函數的圖象上；
（3）求證：x₁•OB+y₂•OA=0．

Answer 1

（1）解：∵直線y=kx+b（b＞0）與x軸正半軸相交于點D，與y軸相交于點C，
∴令x=0，得y=b；令y=0，x=-，
∴△OCD的面積S=（-）•b=-．
∵kS+32=0，
∴k（-）+32=0，
解得b=±8，
∵b＞0，
∴b=8；

（2）證明：由（1）知，直線的解析式為y=kx+8，即x=，
將x=代入y=x²，得y=（）²，
整理，得y²-（16+8k²）y+64=0．
∵直線y=kx+8與拋物線相交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
∴y₁，y₂是方程y²-（16+8k²）y+64=0的兩個根，
∴y₁•y₂=64，
∴點（y₁，y₂）在反比例函數的圖象上；

（3）證明：由勾股定理，得
OA²=+，OB²=+，AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，
由（2）得y₁•y₂=64，
同理，將y=kx+8代入y=x²，
得kx+8=x²，即x²-8kx-64=0，
∴x₁•x₂=-64，
∴AB²=+++-2x₁•x₂-2y₁•y₂=+++，
又∵OA²+OB²=+++，
∴OA²+OB²=AB²，
∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°．
如圖，過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOE=90°-∠BOF=∠OBF，
又∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴=，
∵OE=-x₁，BF=y₂，
∴=，
∴x₁•OB+y₂•OA=0．
分析：（1）先求出直線y=kx+b與x軸正半軸交點D的坐標及與y軸交點C的坐標，得到△OCD的面積S=-，再根據kS+32=0，及b＞0即可求出b的值；
（2）先由y=kx+8，得x=，再將x=代入y=x²，整理得y²-（16+8k²）y+64=0，然后由已知條件直線y=kx+8與拋物線相交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，知y₁，y₂是方程y²-（16+8k²）y+64=0的兩個根，根據一元二次方程根與系數的關系得到y(tǒng)₁•y₂=64，即點（y₁，y₂）在反比例函數的圖象上；
（3）先由勾股定理，得出OA²=+，OB²=+，AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，由（2）得y₁•y₂=64，又易得x₁•x₂=-64，則OA²+OB²=AB²，根據勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°．再過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，根據兩角對應相等的兩三角形相似證明△AEO∽△OFB，由相似三角形對應邊成比例得到=，即可證明x₁•OB+y₂•OA=0．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有二次函數、反比例函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積，一次函數與二次函數的交點，一元二次方程根與系數的關系，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定與性質，綜合性較強，難度適中．求出△OCD的面積S是解第（1）問的關鍵；根據函數與方程的關系，得到y(tǒng)₁，y₂是方程y²-（16+8k²）y+64=0的兩個根，進而得出y₁•y₂=64是解第（2）問的關鍵；根據函數與方程的關系，一元二次方程根與系數的關系，勾股定理及其逆定理得出∠AOB=90°，是解第（3）問的關鍵．