Question

⊙O₂與⊙O₁交于A，B兩點(diǎn)，射線O₁A交⊙O₂于C點(diǎn)，射線O₂A交⊙O₁于D點(diǎn)．求證：點(diǎn)A是△BCD的內(nèi)心．

Answer 1

證明：設(shè)兩圓為⊙O、⊙Q，如圖
延長(zhǎng)CA交⊙O₁于M點(diǎn)，延長(zhǎng)DA交⊙O₂于N點(diǎn)，連接AB、DM、CN、MN，
∵AM是⊙O₁的直徑，AN是⊙O₂的直徑，
∴∠MDN=∠ACN=90°，
∴C、D、M、N四點(diǎn)共圓，
∴∠DMC=∠DNC，
∵∠DMC=∠DBA，∠DNC=∠ABC，
∴∠DBA=∠ABC，
∴點(diǎn)A在∠DBC的角平分線上，
∵C、D、M、N四點(diǎn)共圓，
∴∠DCM=∠DNM，
∵∠DNM=∠ACB，
∴∠DCM=∠ACB，
∴點(diǎn)A在∠DCB的角平分線上，
同理：點(diǎn)A在∠CDB的角平分線上，
∴點(diǎn)A是△CDB的三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)A是△BCD的內(nèi)心．
分析：首先作輔助線延長(zhǎng)CA交⊙O₁于M點(diǎn)，延長(zhǎng)DA交⊙O₂于N點(diǎn)，連接AB、DM、CN、MN，證出C、D、M、N四點(diǎn)共圓，再推出點(diǎn)A在∠DBC的角平分線上，同理點(diǎn)A也在∠DCB和∠CDB的角平分線上，即可得出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了四點(diǎn)共圓，圓周角定理，三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，確定圓的條件等知識(shí)點(diǎn)，作輔助線證C、D、M、N四點(diǎn)共圓是解此題的關(guān)鍵．