Question

如圖1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB＝∠AED＝90°,點E在AB上， F是線段BD的中點，連結(jié)CE、FE.

（1）請你探究線段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不需說明理由）；

（2）將圖1中的△AED繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使△AED的一邊AE恰好與△ACB的邊AC在同一條直線上（如圖2），連結(jié)BD，取BD的中點F，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

     （3）將圖1中的△AED繞點A順時針旋轉(zhuǎn)任意的角度（如圖3），連結(jié)BD，取BD的中點F，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．

 

Answer 1

解：

（1）線段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系是CE=FE．…………………2分

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．

如圖2，連結(jié)CF，延長EF交CB于點G．

∵ 

∴ DE∥BC．

∴∠EDF=∠GBF．

又∵，DF=BF，

∴ △EDF≌△GBF．

∴ EF=GF，BG＝DE＝AE．

∵ AC=BC， 

∴ CE=CG．

∴∠EFC=90°，CF=EF．

∴ △CEF為等腰直角三角形．

∴∠CEF=45°．

∴CE=FE………………………………………………5分

（3）（1）中的結(jié)論仍然成立．

如圖3，取AD的中點M,連結(jié)EM，MF,取AB的中點N,連結(jié)FN，CN，CF．

∵DF=BF，

∴

∵AE=DE，∠AED=90°,

∴AM=EM，∠AME=90°.

∵CA=CB,∠ACB=90°,

∴，∠ANC=90°.

∴，FM=AN =CN.

∴四邊形MFNA為平行四邊形.

∴FN=AM=EM，∠AMF=∠FNA.

∴∠EMF=∠FNC.

∴△EMF≌△FNC.

∴FE = CF，∠EFM=∠FCN.

由，∠ANC=90°，可得∠CPF=90°.

∴∠FCN＋∠PFC=90°.

∴∠EFM＋∠PFC=90°.

∴∠EFC=90°.

∴ △CEF為等腰直角三角形．

∴∠CEF=45°.

∴ CE=FE．……………………………………………8分

圖1

圖2