Question

已知關于x的一元二次方程（x﹣m）²+6x=4m﹣3有實數根．
（1）求m的取值范圍；
（2）設方程的兩實根分別為x₁與x₂，求代數式x₁•x₂﹣x₁²﹣x₂²的最大值．

Answer 1

解：（1）由（x﹣m）²+6x=4m﹣3，得x²+（6﹣2m）x+m²﹣4m+3=0，
∴△=b²﹣4ac=（6﹣2m）²﹣4×1×（m²﹣4m+3）=﹣8m+24。
∵方程有實數根，∴﹣8m+24≥0，解得 m≤3。
∴m的取值范圍是m≤3。
（2）∵方程的兩實根分別為x₁與x₂，由根與系數的關系，得
∴x₁+x₂=2m﹣6，x₁·x₂= m²﹣4 m＋3。
∴x₁•x₂﹣x₁²﹣x₂²="3" x₁•x₂﹣（x₁+x₂）²=3（m²﹣4m+3）﹣（2m﹣6）²=﹣m²+12m﹣27
=﹣（m﹣6）²+9。
∵m≤3，且當m＜6時，﹣（m﹣6）²+9的值隨m的增大而增大，
∴當m=3時，x₁•x₂﹣x₁²﹣x₂²的值最大，最大值為﹣（3﹣6）²+9=0。
∴x₁•x₂﹣x₁²﹣x₂²的最大值是0。
（1）將原方程轉化為關于x的一元二次方程，由于方程有實數根，故根的判別式大于0，據此列不等式解答即可；
（2）將x₁•x₂﹣x₁²﹣x₂²化為兩根之積與兩根之和的形式，將含m的代數式代入，利用二次函數的最值求解即可。