【題目】如圖,A、F、B、C是半圓O上的四個(gè)點(diǎn),四邊形OABC是平行四邊形,∠FAB=15°,連接OF交AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作OF的平行線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,延長(zhǎng)AF交直線CD于點(diǎn)H.
(1)求證:CD是半圓O的切線;
(2)若DH=6﹣3 ,求EF和半徑OA的長(zhǎng).
【答案】
(1)
證明:
連接OB,
∵OA=OB=OC,
∵四邊形OABC是平行四邊形,
∴AB=OC,
∴△AOB是等邊三角形,
∴∠AOB=60°,
∵∠FAD=15°,
∴∠BOF=30°,
∴∠AOF=∠BOF=30°,
∴OF⊥AB,
∵CD∥OF,
∴CD⊥AD,
∵AD∥OC,
∴OC⊥CD,
(2)
解:∵BC∥OA,
∴∠DBC=∠EAO=60°,
∴BD= BC= AB,
∴AE= AD,
∵EF∥DH,
∴△AEF∽△ADH,
∴ ,
∵DH=6﹣3 ,
∴EF=2﹣ ,
∵OF=OA,
∴OE=OA﹣(2﹣ ),
∵∠AOE=30°,
∴ ,
解得:OA=2
【解析】(1)連接OB,根據(jù)已知條件得到△AOB是等邊三角形,得到∠AOB=60°,根據(jù)圓周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OC⊥CD,由切線的判定定理即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DBC=∠EAO=60°,解直角三角形得到BD= BC= AB,推出AE= AD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ,求得EF=2﹣ ,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.本題考查了切線的判定,平行四邊形的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),連接OB構(gòu)造等邊三角形是解題的關(guān)鍵.
【考點(diǎn)精析】掌握平行四邊形的性質(zhì)和切線的判定定理是解答本題的根本,需要知道平行四邊形的對(duì)邊相等且平行;平行四邊形的對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ);平行四邊形的對(duì)角線互相平分;切線的判定方法:經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)O在對(duì)角線AC上,以O(shè)A的長(zhǎng)為半徑的圓O與AD、AC分別交于點(diǎn)E、F,且∠ACB=∠DCE.
(1)判斷直線CE與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)若tan∠ACB= ,BC=2,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AB=10cm,BC=6cm,若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒4cm的速度沿折線A-C-B-A運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).
(1)若點(diǎn)P在AC上,且滿足PA=PB時(shí),求出此時(shí)t的值;
(2)若點(diǎn)P恰好在∠BAC的角平分線上,求t的值;
(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,直接寫出當(dāng)t為何值時(shí),△BCP為等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,E為CD中點(diǎn),連接AE并延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:CF =AD;
(2)若AD=2,AB=8,當(dāng)BC為多少時(shí),點(diǎn)B在線段AF的垂直平分線上?說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知:AD平分∠CAE,AD∥BC.
(1)求證:△ABC是等腰三角形.
(2)當(dāng)∠CAE等于多少度時(shí)△ABC是等邊三角形?證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以x為自變量的二次函數(shù)y=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是( )
A.b≥
B.b≥1或b≤﹣1
C.b≥2
D.1≤b≤2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】觀察下列等式:
第1個(gè)等式:a1= = ﹣1,
第2個(gè)等式:a2= = ﹣ ,
第3個(gè)等式:a3= =2﹣ ,
第4個(gè)等式:a4= = ﹣2,
按上述規(guī)律,回答以下問(wèn)題:
(1)請(qǐng)寫出第n個(gè)等式:an=;
(2)a1+a2+a3+…+an= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,從①∠1=∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F 三個(gè)條件中選出兩個(gè)作為已知條件,另一個(gè)作為結(jié)論所組成的命題中,正確命題的個(gè)數(shù)為( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,小東在教學(xué)樓距地面9米高的窗口C處,測(cè)得正前方旗桿頂部A點(diǎn)的仰角為37°,旗桿底部B點(diǎn)的俯角為45°,升旗時(shí),國(guó)旗上端懸掛在距地面2.25米處,若國(guó)旗隨國(guó)歌聲冉冉升起,并在國(guó)歌播放45秒結(jié)束時(shí)到達(dá)旗桿頂端,則國(guó)旗應(yīng)以多少米/秒的速度勻速上升?(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
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