Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，∠C=45°，AB=4，AD=5，把梯形沿過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)A剛好落在BC邊上，則此時(shí)折痕的長(zhǎng)為

5 5

2

或2

5

．

Answer 1

分析：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，可得四邊形ABFD是矩形，△CDF是等腰直角三角形，然后求出DF、CF的長(zhǎng)，再分①折痕與AB相交時(shí)，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得A′D=AD，利用勾股定理列式求出A′F，設(shè)AE=x表示出A′E=x，BE=4-x，再表示出A′B=5-x，然后利用勾股定理列式求出x的值，在Rt△ADE中，利用勾股定理列式計(jì)算即可求出折痕DE的長(zhǎng)；②折痕與BC相交時(shí)，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得A′D=AD=5，利用勾股定理列式求出A′F，然后求出A′B=8，設(shè)A′E=x，表示出BE=8-x，再根據(jù)翻折的性質(zhì)求出B′E=BE=8-x，然后在Rt△A′B′E中，利用勾股定理列式計(jì)算即可求出x的值，然后求出EF，再利用勾股定理列式求解即可得到折痕DE的長(zhǎng)．

解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，
∵∠A=∠B=90°，∠C=45°，
∴四邊形ABFD是矩形，△CDF是等腰直角三角形，
∴DF=AB=4，CF=DF=4，
①如圖1，折痕與AB相交時(shí)，根據(jù)翻折的性質(zhì)，A′D=AD=5，
在Rt△A′DF中，A′F=

A′D2-DF2

=

52-42

=3，
AE=x，則A′E=x，BE=4-x，
又∵A′B=BF-A′F=5-3=2，
∴在Rt△A′BE中，A′E²=A′B²+BE²，
即x²=2²+（4-x）²，
解得x=

5

2

，
所以，折痕DE=

AD2+AE2

=

52+( 5 2 )2

=

5 5

2

；
②如圖2，折痕與BC相交時(shí)，根據(jù)翻折的性質(zhì)，A′D=AD=5，
在Rt△A′DF中，A′F=

A′D2-DF2

=

52-42

=3，
∴A′B=BF+A′F=5+3=8，
設(shè)A′E=x，則BE=8-x，
根據(jù)翻折的性質(zhì)求出B′E=BE=8-x，
在Rt△A′B′E中，A′E²=A′B′²+B′E²，
即x²=4²+（8-x）²，
解得x=5，
∴EF=A′E-A′F=5-3=2，
在Rt△DEF中，折痕DE=

DF2+EF2

=

42+22

=2

5

；
綜上所述，折痕的長(zhǎng)為

5 5

2

或2

5

．
故答案為：

5 5

2

或2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換的性質(zhì)以及直角梯形的問(wèn)題，勾股定理的應(yīng)用，作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于要分折痕的位置分情況討論求解．