Question

4．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BE=2DE，延長DE到F，使EF=BE，連接CF．
（1）求證：四邊形BCFE為菱形；
（2）若CE=8，∠CFE=60°，求四邊形BCFE的面積．

Answer 1

分析 （1）證明DE是△ABC的中位線，由三角形中位線定理得出DE∥BC，BC=2DE，由已知條件得出EF=BC，證出四邊形BCFE是平行四邊形，再由EF=BE，即可得出結論；（2）作CM⊥DF于M，由菱形的性質(zhì)得出EF=CF，證出△CEF是等邊三角形，得出CF=CE=8，由三角函數(shù)求出CM，即可得出四邊形BCFE的面積．

解答 （1）證明：∵D、E分別是AB、AC的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，BC=2DE，
∴EF∥BC，
∵BE=2DE，
∴BC=BE，
∵EF=BE，
∴EF=BC，
∴四邊形BCFE是平行四邊形，
又∵EF=BE，
∴四邊形BCFE為菱形；
（2）解：作CM⊥DF于M，如圖所示：
由（2）得：四邊形BCFE為菱形，
∴EF=CF，
∵∠CFE=60°，
∴△CEF是等邊三角形，
∴CF=CE=8，
∴CM=CF•sin60°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
∴四邊形BCFE的面積=EF•CM=8×4$\sqrt{3}$=32$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，證明△CEF是等邊三角形是解決問題（2）的突破口．