【題目】如圖,P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn),且PA=3,PB=4,PC=5,以BC為邊在△ABC外作△BQC≌△BPA,連接PQ,則以下結(jié)論中正確有_____(填序號)①△BPQ是等邊三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB=150° ④∠APC=120°
【答案】①②③
【解析】
①根據(jù)△ABC是等邊三角形,得出∠ABC=60°,根據(jù)△BQC≌△BPA,得出∠CBQ=∠ABP,PB=QB=4,PA=QC=3,∠BPA=∠BQC,求出∠PBQ=60°,即可判斷①;
②根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷得出②;
③根據(jù)△BPQ是等邊三角形,△PCQ是直角三角形即可判斷;
④求出∠APC=150°﹣∠QPC,和PC≠2QC,可得∠QPC≠30°,即可判斷④.
解:①∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=60°,
∵△BQC≌△BPA,
∴∠CBQ=∠ABP,PB=QB=4,PA=QC=3,∠BPA=∠BQC,
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°,
∴△BPQ是等邊三角形,
所以①正確;
②PQ=PB=4,
PQ2+QC2=42+32=25,
PC2=52=25,
∴PQ2+QC2=PC2,
∴∠PQC=90°,
∴△PCQ是直角三角形,
所以②正確;
③∵△BPQ是等邊三角形,
∴∠PQB=∠BPQ=60°,
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°,
所以③正確;
④∠APC=360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC=150°﹣∠QPC,
∵∠PQC=90°,PC≠2QC,
∴∠QPC≠30°,
∴∠APC≠120°.
所以④錯(cuò)誤.
所以正確的有①②③.
故答案為:①②③.
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備用圖
(1)___________;
(2)若點(diǎn)恰好在的角平分線上,求此時(shí)的值:
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則下列結(jié)論正確的是( )
A. 拋物線的開口向下
B. 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2.5,﹣8.75)
C. 當(dāng) x>4 時(shí),y 隨 x 的增大而減小
D. 拋物線必經(jīng)過定點(diǎn)(0,﹣5)
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(3)連接 PM,PB,設(shè)點(diǎn) P(m,n),當(dāng) n=m 時(shí),求△PMB 的面積.
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