Question

【題目】如圖，已知ABCO的頂點A、C分別在直線x＝2和x＝7上，O是坐標原點，則對角線OB長的最小值為_____．

Answer 1

【答案】9

【解析】

過點B作BD⊥直線x＝7，交直線x＝7于點D，過點B作BE⊥x軸，交x軸于點E．則OB＝．由于四邊形OABC是平行四邊形，所以OA＝BC，又由平行四邊形的性質可推得∠OAF＝∠BCD，則可證明△OAF≌△BCD，所以OE的長固定不變，當BE最小時，OB取得最小值，即可得出答案．

解：過點B作BD⊥直線x＝7，交直線x＝7于點D，過點B作BE⊥x軸，交x軸于點E，直線x＝2與OC交于點M，與x軸交于點F，

直線x＝7與AB交于點N，如圖：

∵四邊形OABC是平行四邊形，

∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，

∵直線x＝2與直線x＝7均垂直于x軸，

∴AM∥CN，

∴四邊形ANCM是平行四邊形，

∴∠MAN＝∠NCM，

∴∠OAF＝∠BCD，

∵∠OFA＝∠BDC＝90°，

∴∠FOA＝∠DBC，

在△OAF和△BCD中，，

∴△OAF≌△BCD（ASA）．

∴BD＝OF＝2，

∴OE＝7+2＝9，

∴OB＝．

∵OE的長不變，

∴當BE最小時（即B點在x軸上），OB取得最小值，最小值為OB＝OE＝9．

故答案為：9．