Question

11．已知，如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P點是線段BC上的任一動點，過點A、B、P作⊙O，設⊙O的半徑為r，當⊙O與線段CD有且只有兩個交點時，半徑r的取值范圍是$\frac{73}{16}$＜r≤5．

Answer 1

分析 如圖1，當⊙O與CD相切于E時，根據(jù)切割線定理求得PB=$\frac{55}{8}$，根據(jù)勾股定理得到AP=$\sqrt{A{B}^{2}+P{B}^{2}}$=$\frac{73}{8}$，求得r=$\frac{73}{16}$，如圖2，當矩形ABCD內接于⊙O時，根據(jù)勾股定理得到AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10，求得r=5，于是得到結論．

解答 解：如圖1，當⊙O與CD相切于E時，
則CE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=3，
設PB=x，
∴CE²=CP•BC，即3²=（8-x）×8，
∴x=$\frac{55}{8}$，
∴PB=$\frac{55}{8}$，
∴AP=$\sqrt{A{B}^{2}+P{B}^{2}}$=$\frac{73}{8}$，
∴r=$\frac{73}{16}$，
如圖2，當矩形ABCD內接于⊙O時，
AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∴r=5，
∴當⊙O與線段CD有且只有兩個交點時，半徑r的取值范圍是$\frac{73}{16}$＜r≤5．
故答案為：$\frac{73}{16}$＜r≤5．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系：判斷直線和圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d：直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．也考查了相似三角形的判定與性質．