Question

3．如圖，已知⊙O的半徑為1，線段AB=4，⊙O從A端開始沿著線段滾向B端，設(shè)⊙O與AB切于點P，當(dāng)P與A、B不重合時，分別過A，B兩點作與⊙O相切（切點為E，F(xiàn)），但不與AB重合的兩條射線．
問：（1）當(dāng)∠EAB=90°時，AP有多長？（直接寫出答案）
（2）當(dāng)AE與BF相交于點C且∠ACB=60°，求△ABC的周長；
（3）當(dāng)AE∥BF時，求AP的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接OP，OE，由AB，AE與⊙O相切，得到∠OEA=∠OPA=90°，推出四邊形APOE是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AP=OE=1；
（2）如圖2，連接EF，則CE=CF，由∠ACB=60°，得到△CEF是等腰三角形，連接OE，OF．過O作OG⊥EF于G，由∠CEO=∠CFO=90°，得到∠EOF=120°，于是得到∠OFE=∠OEF=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論$\sqrt{3}$；
（3）如圖（3）連接OE，OF，于是得到OE⊥AE，OF⊥BF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到點E，O，F(xiàn)共線，過B作BH⊥AE，得到BH=EF=2，根據(jù)勾股定理得到AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，設(shè)BF=EH=x，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，連接OP，OE，
∵AB，AE與⊙O相切，
∴∠OEA=∠OPA=90°，
∵∠EAP=90°，OE=OP，
∴四邊形APOE是正方形，
∴AP=OE=1；

（2）如圖2，連接EF，則CE=CF，
∵∠ACB=60°，
∴△CEF是等腰三角形，
連接OE，OF．過O作OG⊥EF于G，
∵∠CEO=∠CFO=90°，
∴∠EOF=120°，
∴∠OFE=∠OEF=30°，
∴OG=$\frac{1}{2}$，EG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$EF=2EG=\sqrt{3}$，
∴CE=CF=$\sqrt{3}$，
∵AP=AE，PB=BF，
∴AE+BF=AB=4，
∴△ABC的周長=4+4+2$\sqrt{3}$=8+2$\sqrt{3}$；

（3）如圖（3）連接OE，OF，則OE⊥AE，OF⊥BF，
∵AE∥BF，
∴OE⊥BF，
∴點E，O，F(xiàn)共線，
過B作BH⊥AE，
∴BH=EF=2，AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
設(shè)BF=EH=x，則AP=AE=2$\sqrt{3}$+x，BP=BF=x，
∴2$\sqrt{3}$+x+x=4，
∴x=2-$\sqrt{3}$，
∴AP=4-（2-$\sqrt{3}$）=2+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．