Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的點(diǎn)，PA切于⊙O于點(diǎn)A，PA=PC，∠BAC=30°，
（1）求證：PC是⊙O的切線．
（2）若⊙O的半徑為1，求PC的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析：（1）連接PO，OC，根據(jù)SSS證△PAO≌△PCO，推出∠PCO=∠PAO=90°，根據(jù)切線的判定推出即可．
（2）連結(jié)BC，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到∠ACB=90°，結(jié)合Rt△ACB中AB=2且∠BAC=30°，得到AC=ABcos∠BAC=

3

．最后在等邊△PAC中，可得PA=AC=

3

．

解答：（1）證明：連接OC、OP，
∵PA切⊙O于A，
∴∠PAO=90°，
在△PAO和△PCO中

OA=OC OP=OP PA=PC

∴△PAO≌△PCO（SSS），
∴∠PCO=∠PAO=90°，
∵OC為半徑，
∴PC是⊙O的切線．

（2）解：如圖，連結(jié)BC，
∵AB是直徑，∠ACB=90°，
∴在Rt△ACB中，AB=2，∠BAC=30°，
可得AC=ABcos∠BAC=2×cos30°=

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，
∵∠PAC=90°-30°=60°，PA=PC，
∴△PAC是等邊三角形，
∴PA=AC=

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．

點(diǎn)評(píng)：著重考查了圓的切線的性質(zhì)定理、切線長(zhǎng)定理、直徑所對(duì)的圓周角、等邊三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形等知識(shí)，掌握各知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用是關(guān)鍵，難度適中．