D
分析:連接DE,由∠ABC=∠AEC=∠ADC=90°,根據圓周角定理的推論得到點A、B、C、D、E都在以AC為直徑的圓上,再利用矩形的性質可得AE=ME,即①正確;再根據圓周角定理得到∠AEB=∠ACB,∠DAC=∠CED,∠EAD=∠ECD,易證△AEF≌△CED,即可得到AB=AF,即②正確;由②得到∠ABF=∠AFB=45°,求出∠EMC=∠MCB+45°,
而∠ECM=∠NCM+45°,即③正確;根據等腰三角形性質求出∠EAM=∠AME,推出∠EAM=45°+∠MAN,∠AME=45°+∠BAM,即可判斷(4).
解答:連接DE.
∵四邊形ABCD為矩形,△ACE為AC為底的等腰直角三角形,
∴∠ABC=∠AEC=∠ADC=90°,AB=CD,AD=BC,
∴點A、B、C、D、E都在以AC為直徑的圓上,
∵AB=CD,
∴弧AB=弧CD,
∴∠AEB=∠CED,
∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠BEC+∠AEB=90°,
∴BE⊥ED,故(1)正確;
∵點A、B、C、D、E都在以AC為直徑的圓上,
∴∠AEF=∠CED,∠EAF=∠ECD,
又∵△ACE為等腰直角三角形,
∴AE=CE,
在△AEF和∉CED中,
,
∴△AEF≌△CED,
∴AF=CD,
而CD=AB,
∴AB=AF,即(2)正確;
∴∠ABF=∠AFB=45°,
∴∠EMC=∠MCB+45°,
而∠ECM=∠NCM+45°,
∵CM平分∠ACB交BN于M,
∴∠EMC=∠ECM,
∴EC=EM,
∴EM=EA,即(3)正確;
∵AB=AF,∠BAD=90°,EM=EA,
∴∠ABF=∠CBF=45°,∠EAM=∠AME,
∵△AEC是等腰直角三角形,
∴∠EAC=45°,
∴∠EAM=45°+∠MAN,∠AME=∠ABM+∠BAM=45°+∠BAM,
∴∠BAM=∠NAM,∴(4)正確;
故選D.
點評:本題考查了圓周角定理以及推論:同弧所對的圓周角相等,90度的圓周角所對的弦為直徑;也考查了等腰三角形和矩形的性質、勾股定理以及三角形相似的判定與性質,通過做此題培養(yǎng)了學生的推理能力,此題綜合性比較強,有一定的難度.