Question

如圖，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=16cm，點E，F(xiàn)分別沿AB，BC方向運動，速度分別為3cm/s，4cm/s，兩點同時出發(fā)，當一點到達終點時，另一點也停止運動，設(shè)運動時間為t（s）．
（1）當t=2時，點P在AC上移動，若△PEF為直角三角形，則滿足條件的點P有______個；
（2）△BEF的面積為S（cm²），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）將△BEF沿EF翻折得到△GEF，四邊形EBFG能否為正方形？若能，求出此時t的值；若不能，說明理由；
（4）在（3）的條件下，是否存在時刻t，使得GF∥AC？請說明理由．

Answer 1

解：（1）4；

（2）由題意可知：AE=3t，BF=4t，
∴BE=12-3t．
∴S=．

（3）四邊形EBFG能為正方形．
要使得四邊形EBFG為正方形，只需△BEF為等腰直角三角形，
當BE=BF時，即12-3t=4t，t=時，四邊形EBFG為正方形．

（4）在（3）的條件下，存在t=時，GF∥AC．
理由如下：延長FG交AB于點M，則△ABC∽△MBF∽△MGE，
∴，．
∴MF=5t．
∵EG=EB=12-3t，F(xiàn)G=FB=4t，
∴MG=t．
∴t=．
分析：（1）當t=2時，EF是△BAC的中位線，由圖形可知，若△PEF為直角三角形，則有∠PEF=90°一種，∠EPF=90°兩種，∠PFE=90°一種，共4種；
（2）根據(jù)直角三角形的面積公式即可得出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)正方形的判定，得出△BEF為等腰直角三角形時的t值即可；
（4）延長FG交AB于點M，可得△ABC∽△MBF∽△MGE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出．
點評：本題綜合考查了矩形的性質(zhì)，三角形的面積公式，翻折變換（折疊問題），正方形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，有一定的難度．