Question

19．將拋物線c₁：$y=-\sqrt{3}{x^2}+\sqrt{3}$沿x軸翻折，得到拋物線c₂，如圖1所示．
（1）請(qǐng)直接寫出拋物線c₂的表達(dá)式；
（2）現(xiàn)將拋物線c₁向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A、B；將拋物線c₂向右也平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為N，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為D、E．
①當(dāng)B、D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí)，求m的值；②在平移過程中，是否存在以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)翻折的性質(zhì)可求拋物線c₂的表達(dá)式；
（2）①求出拋物線c₁與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，分當(dāng)AD=$\frac{1}{3}$AE時(shí)，當(dāng)BD=$\frac{1}{3}$AE時(shí)兩種情況討論求解；
②存在．理由：如圖2，連接AN，NE，EM，MA．根據(jù)矩形的判定即可得出．

解答 解：（1）y=$\sqrt{3}$x²-$\sqrt{3}$．

（2）①如圖1，令-$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$=0，得x₁=-1，x₂=1
則拋物線c₁與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（1，0）．
∴A（-1-m，0），B（1-m，0）．
同理可得：D（-1+m，0），E（1+m，0）．
當(dāng)AD=$\frac{1}{3}$AE時(shí)，
（-1+m）-（-1-m）=$\frac{1}{3}$[（1+m）-（-1-m）]，
∴m=$\frac{1}{2}$．
當(dāng)BD=$\frac{1}{3}$AE時(shí)，
（-1+m）-（1-m）=$\frac{1}{3}$[（1+m）-（-1-m）]，
∴m=2．
故當(dāng)B，D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí)，m=$\frac{1}{2}$或2．
②存在．
理由：如圖2，連接AN，NE，EM，MA．
依題意可得：M（-m，$\sqrt{3}$），N（m，-$\sqrt{3}$）．
即M，N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，
∴OM=ON．
∵A（-1-m，0），E（1+m，0），
∴A，E關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，
∴OA=OE
∴四邊形ANEM為平行四邊形．
∵AM²=（-m+1+m）²+（$\sqrt{3}$）²=4，
ME²=（1+m+m）²+（$\sqrt{3}$）²=4m²+4m+4，
AE²=（1+m+1+m）²=4m²+8m+4，
若AM²+ME²=AE²，則4+4m²+4m+4=4m²+8m+4，
∴m=1，
此時(shí)△AME是直角三角形，且∠AME=90°．
∴當(dāng)m=1時(shí)，以點(diǎn)A，N，E，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題型，考查了翻折的性質(zhì)，平行四邊形和矩形的判定，注意分析題意分情況討論結(jié)果．