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已知:矩形OABC的頂點(diǎn)O在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),邊OA、OC分別在x、y軸的正半軸 上,且OA=3cm,OC=4cm,點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動,點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)沿CA向終點(diǎn)A運(yùn)動,點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā),且運(yùn)動的速度均為1cm/秒,當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)即停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動1秒時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo);
(2)試求出多邊形OAMN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)t為何值時(shí),以△OAN的一邊所在直線為對稱軸翻折△OAN,翻折前后的兩個(gè)三角形所組成的四邊形為菱形?

解:(1)∵t=1∴CN=1,AM=1
過N作NE⊥y軸,作NF⊥x軸
∴△CEN∽△COA,∴,即,∴EN=
由勾股定理得:,,∴

(2)由(1)得,∴
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為
∵多邊形OAMN由△ONA和△AMN組成
=
=
∴多邊形OAMN的面積S=
(0≤t≤4)


(3)①直線ON為對稱軸時(shí),翻折△OAN得到△OA′N,此時(shí)組成的四邊形為OANA′,
當(dāng)AN=A′N=A′O=OA,四邊形OANA’是菱形.
即AN=OA,∴5-t=3∴t=2.

②直線OA為對稱軸時(shí),翻折△OAN得到△OAN′,
此時(shí)組成的四邊形為ONAN′,連接NN′,交OA于點(diǎn)G.
當(dāng)NN′與OA互相垂直平分時(shí),四邊形ONAN′是菱形.
即OA⊥NN′,OG=AG=,
∴NG∥CO,∴點(diǎn)N是AC的中點(diǎn),
∴CN=,∴

③直線AN為對稱軸時(shí),翻折△OAN得到△O′AN,
此時(shí)組成的四邊形為ONO′A,連接OO’,交AN于點(diǎn)H.
當(dāng)OO′與AN互相垂直平分時(shí),四邊形ONO’A是菱形.
即OH⊥AC,AH=NH=
由面積法可求得OH=,
在Rt△OAH中,由勾股定理得,AH=
,∴
綜上所述,t的值為
分析:(1)過N作NE⊥y軸,作NF⊥x軸,由△CEN∽△COA,利用相似比求EN,再用勾股定理求CE,確定N點(diǎn)坐標(biāo);
(2)將多邊形OAMN分為△ONA和△AMN,用t分別表示兩個(gè)三角形的面積,再求和即可;
(3)分為①直線ON為對稱軸,②直線OA為對稱軸,③直線AN為對稱軸,畫出圖形,根據(jù)菱形的特殊性,列方程求解.
點(diǎn)評:本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),菱形的性質(zhì),矩形的性質(zhì)及折疊變換.關(guān)鍵是根據(jù)題意,結(jié)合圖形及特殊圖形的性質(zhì),運(yùn)用勾股定理,相似三角形的性質(zhì)解題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:矩形OABC的頂點(diǎn)O在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),邊OA、OC分別在x、y軸的正半軸 上,且OA=3cm,OC=4cm,點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動,點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)沿CA向終點(diǎn)A運(yùn)動,點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā),且運(yùn)動的精英家教網(wǎng)速度均為1cm/秒,當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)即停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動1秒時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo);
(2)試求出多邊形OAMN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)t為何值時(shí),以△OAN的一邊所在直線為對稱軸翻折△OAN,翻折前后的兩個(gè)三角形所組成的四邊形為菱形?

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(1)當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動1秒時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo);
(2)試求出多邊形OAMN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)t為何值時(shí),以△OAN的一邊所在直線為對稱軸翻折△OAN,翻折前后的兩個(gè)三角形所組成的四邊形為菱形?

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(1)當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動1秒時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo);
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