Question

（2012•攀枝花）如圖所示，在形狀和大小不確定的△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，P在EF或EF的延長(zhǎng)線上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，設(shè)BP=y，PE=x．

（1）當(dāng)x=

1

3

EF時(shí)，求S_△DPE：S_△DBC的值；
（2）當(dāng)CQ=

1

2

CE時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）①當(dāng)CQ=

1

3

CE時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
     ②當(dāng)CQ=

1

n

CE（n為不小于2的常數(shù)）時(shí)，直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)可以求得S_△DPE：S_△DBC的值；
（2）（3）問(wèn)的解答，采用一般到特殊的方法．解答中首先給出了一般性結(jié)論的證明，即當(dāng)EQ=kCQ（k＞0）時(shí)，y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式為：y=6k-x；然后將該關(guān)系式應(yīng)用到第（2）（3）問(wèn)中求解．在解題過(guò)程中，充分利用了相似三角形比例線段之間的關(guān)系．另外，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等的性質(zhì)得出了一個(gè)重要結(jié)論（（2）中①式子），該結(jié)論在解題過(guò)程中發(fā)揮了重要作用．

解答：解：（1）∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，x=

1

3

EF，
∴EF∥BC，且EF=

1

2

BC，
∴△EDP∽△CDB，
∴

EP

BC

=

1

6

，
∴S_△DPE：S_△DBC=1：36；

（2）延長(zhǎng)BQ交EF于K，
∵EK∥BC，
∴∠EKB=∠KBC，
又∵BQ為∠CBP的平分線，
∴∠PBK=∠KBC，
∴∠EKB=∠PBK，
∴PB=PK．
∵CQ=

1

2

CE，∴CQ=EQ，
易證△CQB≌△EQK，則BC=KE=6，
∴x+y=6，
∴y=6-x；

（3）當(dāng)CQ=

1

3

CE時(shí)，k=2，由（2）中式可知y=6k-x，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=12-x；
當(dāng)CQ=

1

n

CE（n為不小于2的常數(shù)）時(shí)，k=n-1，由（2）中④式可知，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=6（n-1）-x．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了相似三角形線段之間的比例關(guān)系、三角形中位線定理和角平分線性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，難度較大．在解題過(guò)程中，涉及到數(shù)目較多的線段和較為復(fù)雜的運(yùn)算，注意不要出錯(cuò)．本題第（2）（3）問(wèn)，采用了從一般到特殊的解題思想，簡(jiǎn)化了解答過(guò)程；同學(xué)們亦可嘗試從特殊到一般的解題思路，即當(dāng)CQ=

1

2

CE時(shí)，CQ=

1

3

CE時(shí)分別探究y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后推廣到當(dāng)CQ=

1

n

CE（n為不小于2的常數(shù)）時(shí)的一般情況．