Question

【題目】若三個(gè)非零實(shí)數(shù)x，y，z滿足：只要其中一個(gè)數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和，則稱這三個(gè)實(shí)數(shù)x，y，z構(gòu)成“和諧三組數(shù)”．
（1）實(shí)數(shù)1，2，3可以構(gòu)成“和諧三組數(shù)”嗎？請說明理由；
（2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三點(diǎn)均在函數(shù) （k為常數(shù)，k≠0）的圖象上，且這三點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1 ， y2 ， y3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”，求實(shí)數(shù)t的值；
（3）若直線y=2bx+2c（bc≠0）與x軸交于點(diǎn)A（x1 ， 0），與拋物線y=ax2+3bx+3c（a≠0）交于B（x2 ， y2），C（x3 ， y3）兩點(diǎn)．
①求證：A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1 ， x2 ， x3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”；
②若a＞2b＞3c，x2=1，求點(diǎn)P（ ， ）與原點(diǎn)O的距離OP的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：不能，理由如下：

∵1、2、3的倒數(shù)分別為1、 、 ，

∴ + ≠1，1+ ≠ ，1+ ≠

∴實(shí)數(shù)1，2，3不可以構(gòu)成“和諧三組數(shù)”

（2）

解：∵M(jìn)（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三點(diǎn)均在函數(shù) （k為常數(shù)，k≠0）的圖象上，

∴y1、y2、y3均不為0，且y1= ，y2= ，y3= ，

∴ = ， = ， = ，

∵y1，y2，y3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”，

∴有以下三種情況：

當(dāng) = + 時(shí)，則 = + ，即t=t+1+t+3，解得t=﹣4；

當(dāng) = + 時(shí)，則 = + ，即t+1=t+t+3，解得t=﹣2；

當(dāng) = + 時(shí)，則 = + ，即t+3=t+t+1，解得t=2；

∴t的值為﹣4、﹣2或2

（3）

解：①∵a、b、c均不為0，

∴x1，x2，x3都不為0，

∵直線y=2bx+2c（bc≠0）與x軸交于點(diǎn)A（x1，0），

∴0=2bx1+2c，解得x1=﹣ ，

聯(lián)立直線與拋物線解析式，消去y可得2bx+2c=ax2+3bx+3c，即ax2+bx+c=0，

∵直線與拋物線交與B（x2，y2），C（x3，y3）兩點(diǎn)，

∴x2、x3是方程ax2+bx+c=0的兩根，

∴x2+x3=﹣ ，x2x3= ，

∴ + = = =﹣ = ，

∴x1，x2，x3構(gòu)成“和諧三組數(shù)”；

②∵x2=1，

∴a+b+c=0，

∴c=﹣a﹣b，

∵a＞2b＞3c，

∴a＞2b＞3（﹣a﹣b），且a＞0，整理可得 ，解得﹣ ＜ ＜ ，

∵P（ ， ）

∴OP2=（ ）2+（ ）2=（ ）2+（ ）2=2（ ）2+2 +1=2（ + ）2+ ，

令m= ，則﹣ ＜m＜ 且m≠0，且OP2=2（m+ ）2+ ，

∵2＞0，

∴當(dāng)﹣ ＜m＜﹣ 時(shí)，OP2隨m的增大而減小，當(dāng)m=﹣ 時(shí)，OP2有最大值 ，當(dāng)m=﹣ 時(shí)，OP2有最小值 ，

當(dāng)﹣ ＜m＜ 時(shí)，OP2隨m的增大而增大，當(dāng)m=﹣ 時(shí)，OP2有最小值 ，當(dāng)m= 時(shí)，OP2有最大值 ，

∴ ≤OP2≤ 且OP2≠1，

∵P到原點(diǎn)的距離為非負(fù)數(shù)，

∴ ≤OP≤ 且OP≠1

【解析】（1）由和諧三組數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證即可；（2）把M、N、R三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)解析式，可用t和k分別表示出y1、y2、y3 ， 再由和諧三組數(shù)的定義可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；（3）①由直線解析式可求得x1=﹣ ，聯(lián)立直線和拋物線解析式消去y，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求得x2+x3=﹣ ，x2x3= ，再利用和諧三數(shù)組的定義證明即可；②由條件可得到a+b+c=0，可得c=﹣（a+b），由a＞2b＞3c可求得 的取值范圍，令m= ，利用兩點(diǎn)間距離公式可得到OP2關(guān)于m的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得OP2的取值范圍，從而可求得OP的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的根與系數(shù)的關(guān)系和二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．