Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．在線段BC、CD上有動(dòng)點(diǎn)F、E，點(diǎn)F以每秒2cm的速度，在線段BC上從點(diǎn)B向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)E以每秒1cm的速度，在線段CD上從點(diǎn)C向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)E同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．
（1）求AD的長；
（2）設(shè)四邊形BFED的面積為y，求y 關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)定義域；
（3）點(diǎn)F、E在運(yùn)動(dòng)過程中，如△CEF與△BDC相似，求線段BF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據(jù)已知條件“BD⊥DC，∠A=90°”及平行線的性質(zhì)（兩直線AD∥CB，內(nèi)錯(cuò)角∠ADB=∠DBC）證明△ABD∽△DCB；然后由勾股定理及相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得AD的長度；
（2）過點(diǎn)E作BC的垂線，垂足為G．在Rt△DBC和在Rt△EGC中，利用正弦函數(shù)求得EG=t，然后利用割補(bǔ)法求得四邊形EFDB的面積；
（3）分兩種情況：①當(dāng)∠BDC=∠FEC=90°時(shí)，求BF的長；②當(dāng)∠BDC=∠EFC=90°時(shí)，求BF的長．
解答：解：（1）∵AD∥CB，
∴∠ADB=∠DBC
又BD⊥DC，∠A=90°
∴∠A=∠BDC=90°
∴△ABD∽△DCB（2分）
在直角三角形BDC中，BD==8，
∴，即，
解得：AD=6.4cm（1分）

（2）過點(diǎn)E作BC的垂線，垂足為G，
在Rt△DBC中，，
在Rt△EGC中，∴EG=t，
∴（0＜t＜5）（3分）

（3）當(dāng)∠BDC=∠FEC=90°，=，即=，求出t=cm，則BF=2t=cm；
當(dāng)∠BDC=∠EFC=90°，=，代入求出CF=cm，則BF=BC-CF=cm；
綜上所述：BF=cm或者BF=cm．（2分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形、直角梯形．解（3）題時(shí)，原題中沒有提出△CEF與△BDC相似的對(duì)應(yīng)角與對(duì)應(yīng)邊，所以應(yīng)分類討論：①△BDC∽△FEC；②△BDC∽△EFC，防止漏解．