Question

（2001•甘肅）⊙O與⊙A相交于C、D兩點(diǎn)，A點(diǎn)在⊙O上，過A點(diǎn)的直線與CD、⊙A、⊙O交于F、E、B．求證：AE²=AF•AB．

Answer 1

【答案】分析：欲證AE²=AF•AB，即證明AC²=AF•AB．所以可以通過證明△ACF∽△ABC得出，因?yàn)椤螧AC是公共角，只需再證明一個(gè)角對應(yīng)相等．根據(jù)垂徑定理得出弧AC=弧AD，則有∠ABC=∠ACF．
解答：解：連接AC，BC．
∵AE⊥CD，
∴弧AC=弧AD．
在⊙O中，∵弧AC=弧AD，
∴∠ABC=∠ACF．
又∵∠BAC=∠BAC，
∴△ACF∽△ABC．
∴AC²=AF•AB，
又AC=AE，
∴AE²=AF•AB．
點(diǎn)評：乘積的形式通常可以轉(zhuǎn)化為比例的形式，通過相似三角形的性質(zhì)得出．本題注意有一組對應(yīng)角相等，需要根據(jù)等弦對等角得出．