Question

如圖，直線y=-

3

4

x+3分別交x軸、y軸于A、B兩點，線段OA上有一動點P由原點O向點A運動，速度為每秒1個單位長度，設(shè)運動時間為t秒．
（1）直接填出兩點的坐標(biāo)：A：

（4，0）

，B：

（0，3）

；
（2）過點P作直線截△ABO，使截得的三角形與△ABO相似，若當(dāng)P在某一位置時，滿足條件的直線共有4條，t的取值范圍是

0＜t≤

9

4

；
（3）如圖，過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，設(shè)以C為頂點的拋物線 y=（x+m）²+n與直線AB的另一交點為D，
①用含t的代數(shù)式分別表示m=

-t

，n=

-

3

4

t+3

；
②隨著點P運動，CD的長是否為定值？若是，請求出CD長；若不是，說明理由；
③設(shè)△COD的OC邊上的高為h，請直接寫出當(dāng)t為何值時，h的值最大？

Answer 1

分析：（1）在直線AB的解析式中，令x=0，能得到點B的坐標(biāo)；令y=0，能得到點A的坐標(biāo)．
（2）此題需要注意的是“滿足條件的直線共有4條”這個條件，這四條直線中，“過P與直線AB平行的直線、過P與y軸平行的直線、過P與直線AB垂直的直線”這三條直線，點P只要在線段OA上就都能滿足“截得的三角形與△ABO相似”，所以求t的取值范圍，關(guān)鍵要看第四條，即：當(dāng)∠PBO=∠BAO時，△PBO、△BAO相似，那么此時點P的位置就能確定符合條件的t的最大值，可根據(jù)這個思路解答．
（3）①根據(jù)直線AB的解析式，用t表示出點C的坐標(biāo)，而點C是拋物線的頂點，且拋物線的解析式已表示為頂點式，則m、n的值可求；
②聯(lián)立直線AB與拋物線的解析式，先求出C、D點的坐標(biāo)，再判斷線段CD的長是否為定值；
③由②的結(jié)論知CD是定長，那么以CD為底、點O到直線AB的距離為高即可判斷出△OCD的面積是一個定值，反過來看，若以O(shè)C為底、h為高，那么當(dāng)OC最短時，h的值最大；在Rt△AOB中，顯然只有當(dāng)OC⊥AB時，OC最大，此時，先由△AOB的面積求出OC的長，然后在Rt△OCA中，由射影定理求出OP的長，則t值可求．

解答：解：（1）直線y=-

3

4

x+3中，當(dāng)x=0時，y=3，即 B（0，3）；
當(dāng)y=0時，x=4，即 A（4，0）；
∴A（4，0）、B（0，3）．

（2）如右圖，過P作l∥AB、l⊥OA、l⊥AB時，△PBO、△BAO都相似，此時點P在線段OA上時，都符合要求，所以只考慮第四種情況：
當(dāng)∠PBO=∠BAO時，Rt△PBO∽Rt△BAO；
易知：tan∠PBO=tan∠BAO=

OB

OA

=

3

4

；
在Rt△OBP中，OB=3，則 OP=OB•tan∠PBO=3×

3

4

=

9

4

∴滿足條件的t的取值范圍是 0＜t≤

9

4

．

（3）①由題意，知：P（t，0），則 C（t，-

3

4

t+3），而拋物線的頂點坐標(biāo)為 （-m，n），
∴m=-t，n=-

3

4

t+3；
②由①知：y=（x-t）²-

3

4

t+3，聯(lián)立直線AB的解析式，有：

y=(x-t)2- 3 4 t+3 y=- 3 4 x+3

，解得

x1=t y1=- 3 4 t+3

、

x2=t- 3 4 y2=- 3 4 t+ 57 16

∴點C（t，-

3

4

t+3）、D（t-

3

4

，-

3

4

t+

57

16

）；
可求得，CD的長為定值，且CD=

15

16

；
③由②知：CD的長是定值，且點O到CD的距離不變，所以△OCD的面積是定值；
在△OCD中，以O(shè)C為底、h為高，則 S_△OCD=

1

2

OC•h，S_△OCD是定值，所以當(dāng)OC最短時，h最大；
在Rt△OAB中，OC為底邊AB上的高時，OC最短，此時OC⊥AB；
OC=

OA•OB

AB

=

12

5

；
在Rt△OAC中，OP=

OC2

OA

=

( 12 5 )2

4

=

36

25

；
∴當(dāng)t=

36

25

時，h的值最大．

點評：此題考查的內(nèi)容較為繁雜，在（2）題中，找出四條符合條件的直線是解答該題的關(guān)鍵；最后一個小題中，以三角形的面積是定值為跳板來判斷OC和h之間的關(guān)系是解題的突破口．