Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=20cm，AD=40cm，∠D=120°，點P、Q同時從C點出發(fā)，分別以2cm/s和1cm/s的速度沿著線段CB和線段CD運動，當Q到達點D，點P也隨之停止運動．設運動時間為t（s）
（1）當t為何值時，△CPQ與△ABP相似；
（2）設△APQ與梯形ABCD重合的面積為S（cm²），求S與t的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點A、D分別作BC邊上的垂線，垂足分別為E、F，根據(jù)等腰梯形及直角三角形的性質求得BC=60，再由相似三角形的性質：對應邊成比例來求解；
（2）在直角三角形中求得梯形的高AE=10，進而求得S_△ABP，S_△ADQ，S_△PCQ，S_梯形ABCD；S_△APQ=S_梯形ABCD-S_△ABP-S_△ADQ-S_△PCQ．
解答：解：（1）過點A、D分別作BC邊上的垂線，垂足分別為E、F．
∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AE⊥BC，DF⊥BC，
∴四邊形AEFD是矩形，
∵∠D=120°，
∴∠BAE=120°-90=30°；
又∵AB=CD=20cm，
∴BE=CF=10cm，
∵AD=40cm，
∴EF=AD=40cm，
∴BC=40+10+10=60（cm），
∵△QCP∽△ABP，
∴=，即=，解得t=10，
∴當t為10時，△CPQ與△ABP相似．

（2）由（1）知∠BAE=30°，
∵AB=20，
∴AE=10；
∵S_△ABP=（60-2t）×，S_△ADQ=×40×（10-），S_△PCQ=×2t×t，
S_梯形ABCD=×（40+60）×=500，
∴S_△APQ=S_梯形ABCD-S_△ABP-S_△ADQ-S_△PCQ=-t²，即S=-t²，
∵當Q到達點D，點P也隨之停止運動，
∴解得0＜t＜20，即S=-t²（0＜t＜20）．
點評：本題主要考查了等腰梯形的性質，矩形的判定及性質，以及二次函數(shù)的綜合應用，要注意的是（2）中，要根據(jù)t的運動范圍來求其取值范圍．