Question

如圖，某學(xué)校校園內(nèi)有一塊形狀為直角梯形的空地ABCD，其中AB∥DC，∠B=90°，AB=100m，BC=80m，CD=40m，現(xiàn)計(jì)劃在上面建設(shè)一個(gè)面積為S的矩形綜合樓PMBN，其中點(diǎn)P在線(xiàn)段AD上，且PM的長(zhǎng)至少為36m．
（1）求邊AD的長(zhǎng)；
（2）設(shè)PA=x（m），求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；
（3）若S=3300m²，求PA的長(zhǎng)．（精確到0.1m）

Answer 1

分析：（1）可通過(guò)構(gòu)建直角三角形進(jìn)行求解，過(guò)D作AB的垂線(xiàn)，那么可在構(gòu)建的直角三角形中，根據(jù)梯形兩底的差和梯形的高，用勾股定理求出AD的長(zhǎng)．
（2）可根據(jù)（1）中構(gòu)建的直角三角形求出∠A的正弦和余弦值，然后在直角三角形AMP中，表示出AM，PM的長(zhǎng)，進(jìn)而可根據(jù)AB的長(zhǎng)，表示出矩形的長(zhǎng)BM的值，由此可根據(jù)矩形的面積公式得出關(guān)于S、x的函數(shù)關(guān)系式．自變量的取值范圍可根據(jù)PM的長(zhǎng)至少為36m來(lái)解，即讓PM的表達(dá)式大于等于36即可．
（3）可將S的值代入（2）所求得的函數(shù)解析式中，求出x的值，然后看x的值是否符合自變量的取值范圍．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E
則DE∥BC且DE=BC，CD=BE，DE∥PM
Rt△ADE中，DE=80m
∴AE=AB-BE=100-40=60m
∴AD=

AE2+DE2

=

3600+6400

=100m

（2）∵DE∥PM
∴△APM∽△ADE
∴

AP

AD

=

PM

DE

=

AM

AE

即

x

100

=

PM

80

=

AM

60

∴PM=

4

5

x，AM=

3

5

x
即MB=AB-AM=100-

3

5

x
S=PM•MB=

4

5

x•（100-

3

5

x）=-

12

25

x²+80x
由PM=

4

5

x≥36，得x≥45
∴自變量x的取值范圍為45≤x≤100

（3）當(dāng)S=3300m²時(shí)，
80x-

12

25

x²=3300
12x²-2000x+82500=0
3x²-500x+20625=0
x=

500± (-500)2-4×3×20625

6

=

500±50

6

∴x₁=

550

6

≈91.7（m），x₂=

450

6

=75（m）
即當(dāng)s=3300m²時(shí)，PA的長(zhǎng)為75m，或約為91.7m．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合實(shí)際問(wèn)題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確的用x表示出矩形的長(zhǎng)和寬是解題的關(guān)鍵．