Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以邊上AC上一點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作⊙O，⊙O恰好經(jīng)過邊BC的中點(diǎn)D，并與邊AC相交于另一點(diǎn)F．
（1）求證：BD是⊙O的切線．
（2）若AB=$\sqrt{3}$，E是半圓$\widehat{AGF}$上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，AD，DE．
填空：
①當(dāng)$\widehat{AE}$的長(zhǎng)度是$\frac{2}{3}$π時(shí)，四邊形ABDE是菱形；
②當(dāng)$\widehat{AE}$的長(zhǎng)度是$\frac{1}{3}$π或π時(shí)，△ADE是直角三角形．

Answer 1

分析 （1）首先連接OD，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，⊙O恰好經(jīng)過邊BC的中點(diǎn)D，易得AB=BD，繼而證得∠ODB=∠BAC=90°，即可證得結(jié)論；
（2）①易得當(dāng)DE⊥AC時(shí)，四邊形ABDE是菱形，然后求得∠AOE的度數(shù)，半徑OD的長(zhǎng)，則可求得答案；
②分別從∠ADE=90°，∠DAE=90°，∠AED=90°去分析求解即可求得答案．

解答 （1）證明：如圖1，連接OD，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$BC，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODB=∠BAO=90°，
即OD⊥BC，
∴BD是⊙O的切線．

（2）①當(dāng)DE⊥AC時(shí)，四邊形ABDE是菱形；
如圖2，設(shè)DE交AC于點(diǎn)M，連接OE，則DE=2DM，
∵∠C=30°，
∴CD=2DM，∴DE=CD=AB=$\frac{1}{2}$BC，
∵∠BAC=90°，
∴DE∥AB，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∵AB=BD，
∴四邊形ABDE是菱形；
∵AD=BD=AB=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∴△ABD是等邊三角形，OD=CD•tan30°=1，
∴∠ADB=60°，
∵∠CDE=90°-∠C=60°，
∴∠ADE=180°-∠ADB-∠CDE=60°，
∴∠AOE=2∠ADE=120°，
∴$\widehat{AE}$的長(zhǎng)度為：$\frac{120×π×1}{180}$=$\frac{2}{3}$π；
故答案為：$\frac{2}{3}π$；

②若∠ADE=90°，則點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，此時(shí)$\widehat{AE}$的長(zhǎng)度為：$\frac{180×π×1}{180}$=π；
若∠DAE=90°，則DE是直徑，則∠AOE=2∠ADO=60°，此時(shí)$\widehat{AE}$的長(zhǎng)度為：$\frac{60×π×1}{180}$=$\frac{1}{3}$π；
∵AD不是直徑，
∴∠AED≠90°；
綜上可得：當(dāng)$\widehat{AE}$的長(zhǎng)度是$\frac{1}{3}$π或π時(shí)，△ADE是直角三角形．
故答案為：$\frac{1}{3}$π或π．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于圓的綜合題．考查了切線的判定與性質(zhì)、菱形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及弧長(zhǎng)公式等知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線，利用分類討論思想求解是解此題的關(guān)鍵．