下圖1,已知拋物線C經(jīng)過原點(diǎn),對稱軸x=-3與拋物線相交于第三象限的點(diǎn)M,與x軸相交于點(diǎn)N,且tan∠MON=3.
(1)求拋物線C的解析式;
(2)將拋物線C繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C’,拋物線C’與x軸的另一交點(diǎn)為A,B為拋物線C’上橫向坐標(biāo)為2的點(diǎn).
①若P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn),PD⊥y軸于點(diǎn)D,求△APD面積的最大值;
②過線段OA上的兩點(diǎn)E、F分別作x軸的垂線,交折線O–B-A于點(diǎn)E1、F1,再分別以線段EE1、FF1為邊作下圖2所示的等邊△EE1E2、等邊△FF1F2,點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),當(dāng)△EE1E2有一邊與△FF1F2的某一邊在同一直線上時(shí),求時(shí)間t的值.
解:(1)對稱軸MN的解析式為x=-3,ON=3,tan∠MON=3,MN=9,M(-3,-9), 令拋物線C的解析式為y=a(x+3)2-9,它經(jīng)過原點(diǎn),則0=a(0+3)2-9,a=1, y=1(x+3)2-9=x2+6x,所以拋物線C的解析式為y=x2+6x; (2)①拋物線C’的解析式為 y=-x2+6x,當(dāng)y=0時(shí),x=0或6,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)B在拋物線C’上,且其橫坐標(biāo)為2,y=8,有點(diǎn)B(2,8),直線AB的解析式為 y=-2x+12,點(diǎn)P在線段AB上,令點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p,-2p+12), S△APD= S△APD的max值為9;http:∥www.xkb1.com �、趽�(jù)(2)①知,直線OB解析式為y=4x, 直線AB解析式為y=-2x+12; 圖3,∵EE1∥FF1,△EE1E2、△FF1F2是等邊三角形,∴E1E2∥FF2,EE2∥F1F2, 直線EE1的解析式為x=t,直線FF1的解析式為x=6-t,令E1(t,y)則有E(t,0)、 E2(t+ y= 為y=- �、�、當(dāng)EE1與FF1在同一直線上時(shí),x=t=6-t,t=3; Ⅱ、當(dāng)0≤t≤2時(shí),點(diǎn)E1在直線OB上,點(diǎn)F1在直線AB上,有E(t,0)、E1(t,4t)、F(6-t,0)、F1(6-t,2t) (a)當(dāng)EE2與F1F2在同一直線上時(shí),有0= 2t= t= (b)當(dāng)E1E2與FF2在同一直線上時(shí),有4t=- 0=- t= 通過作圖觀察可知,當(dāng)2<t≤6時(shí),EE1與FF1不可能在同一直線上,E1E2與FF2也不可能在同一直線上. 綜上所述,當(dāng)△EE1E2有一邊與△FF1F2的某一邊在同一直線上時(shí),t的值為3, 下面的討論旨在說明2<t≤6時(shí),EE1與FF1、E1E2與FF2的位置關(guān)系,答題時(shí)可以省去. �、蟆�(dāng)2<t≤4時(shí),點(diǎn)E1在直線AB上,點(diǎn)F1在直線AB上,有E(t,0)、E1(t,-2t+12)、F(6-t,0)、F1(6-t,2t) (a)當(dāng)EE2與F1F2在同一直線上時(shí),有0= 2t= t= (b)當(dāng)E1E2與FF2在同一直線上時(shí),有-2t+12=- 0=- t= Ⅳ、當(dāng)4<t≤6時(shí),點(diǎn)E1在直線AB上,點(diǎn)F1在直線OB上,有E(t,0)、E1(t,-2t+12)、F(6-t,0)、F1(6-t,24-4t),wWw.xKb1.coM (a)當(dāng)EE2與F1F2在同一直線上時(shí),有0= 24-4t= �。� (b)當(dāng)E1E2與FF2在同一直線上時(shí),有-2t+12=- 12+ 綜上所述,當(dāng)△EE1E2有一邊與△FF1F2的某一邊在同一直線上時(shí), t的值為3, |
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