下圖1,已知拋物線C經(jīng)過原點(diǎn),對稱軸x=-3與拋物線相交于第三象限的點(diǎn)M,與x軸相交于點(diǎn)N,且tan∠MON=3.

(1)求拋物線C的解析式;

(2)將拋物線C繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C’,拋物線C’x軸的另一交點(diǎn)為A,B為拋物線C’上橫向坐標(biāo)為2的點(diǎn).

①若P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn),PD⊥y軸于點(diǎn)D,求△APD面積的最大值;

②過線段OA上的兩點(diǎn)EF分別作x軸的垂線,交折線OBA于點(diǎn)E1、F1,再分別以線段EE1、FF1為邊作下圖2所示的等邊△EE1E2、等邊△FF1F2,點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)F以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),當(dāng)△EE1E2有一邊與△FF1F2的某一邊在同一直線上時(shí),求時(shí)間t的值.

答案:
解析:

  解:(1)對稱軸MN的解析式為x=-3,ON=3,tan∠MON=3,MN=9,M(-3,-9),

  令拋物線C的解析式為y=a(x+3)2-9,它經(jīng)過原點(diǎn),則0=a(0+3)2-9,a=1,

  y=1(x+3)2-9=x2+6x,所以拋物線C的解析式為y=x2+6x;

  (2)①拋物線C’的解析式為

  y=-x2+6x,當(dāng)y=0時(shí),x=0或6,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)B在拋物線C’上,且其橫坐標(biāo)為2,y=8,有點(diǎn)B(2,8),直線AB的解析式為

  y=-2x+12,點(diǎn)P在線段AB上,令點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p,-2p+12),

  S△APDp(-2p+12)=-p2+6p=-(p-3)2+9,當(dāng)p=3(2<3<8)時(shí),

  SAPD的max值為9;http:∥www.xkb1.com

 �、趽�(jù)(2)①知,直線OB解析式為y=4x,

  直線AB解析式為y=-2x+12;

  圖3,∵EE1∥FF1,△EE1E2、△FF1F2是等邊三角形,∴E1E2∥FF2,EE2∥F1F2

  直線EE1的解析式為x=t,直線FF1的解析式為x=6-t,令E1(t,y)則有E(t,0)、

  E2(t+,),設(shè)直線EE2的解析式為

  y=x+a,直線F1F2的解析式為y=x+b,直線E1E2的解析式

  為y=-x+c,直線FF2的解析式為y=-x+d,

 �、�、當(dāng)EE1與FF1在同一直線上時(shí),x=t=6-t,t=3;

  Ⅱ、當(dāng)0≤t≤2時(shí),點(diǎn)E1在直線OB上,點(diǎn)F1在直線AB上,有E(t,0)、E1(t,4t)、F(6-t,0)、F1(6-t,2t)

  (a)當(dāng)EE2與F1F2在同一直線上時(shí),有0=t+a,a=-t,

  2t=(6-t)+b,b=(2+)t-2,a=b,-t=(2+)t-2,

  t=;

  (b)當(dāng)E1E2與FF2在同一直線上時(shí),有4t=-t+c,c=(4+)t,

  0=-(6-t)+d,d=2t,c=d,(4+)t=2t,

  t=;

  通過作圖觀察可知,當(dāng)2<t≤6時(shí),EE1與FF1不可能在同一直線上,E1E2與FF2也不可能在同一直線上.

  綜上所述,當(dāng)△EE1E2有一邊與△FF1F2的某一邊在同一直線上時(shí),t的值為3,

  下面的討論旨在說明2<t≤6時(shí),EE1與FF1、E1E2與FF2的位置關(guān)系,答題時(shí)可以省去.

 �、蟆�(dāng)2<t≤4時(shí),點(diǎn)E1在直線AB上,點(diǎn)F1在直線AB上,有E(t,0)、E1(t,-2t+12)、F(6-t,0)、F1(6-t,2t)

  (a)當(dāng)EE2與F1F2在同一直線上時(shí),有0=t+a,a=-t,

  2t= (6-t)+b,b=(2+)t-2,a=b,-t=(2+)t-2,

  t=(<2,舍去);

  (b)當(dāng)E1E2與FF2在同一直線上時(shí),有-2t+12=-t+c,c=(-2)t+12,

  0=- (6-t)+d,d=2t,c=d,(-2)t+12=2t,

  t=(>4,舍去);

  Ⅳ、當(dāng)4<t≤6時(shí),點(diǎn)E1在直線AB上,點(diǎn)F1在直線OB上,有E(t,0)、E1(t,-2t+12)、F(6-t,0)、F1(6-t,24-4t),wWw.xKb1.coM

  (a)當(dāng)EE2與F1F2在同一直線上時(shí),有0=t+a,a=-t,

  24-4t=(6-t)+b,b=24-2t-4t,a=b,

 �。�t=24-2t-4t,t=(>6,舍去);

  (b)當(dāng)E1E2與FF2在同一直線上時(shí),有-2t+12=-t+c,c=12+t-2t,0=- (6-t)+d,d=2t,c=d,

  12+t-2t=2t,t=(>6,舍去);

  綜上所述,當(dāng)△EE1E2有一邊與△FF1F2的某一邊在同一直線上時(shí),

  t的值為3,


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1
7
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