Question

9．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+2x+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的對(duì)稱軸為直線l．
（1）求這條拋物線的關(guān)系式，并寫出其對(duì)稱軸和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）如果直線y=kx+b經(jīng)過C、M兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為N，試證明四邊形CDAN是平行四邊形；
（3）點(diǎn)P在直線l上，且以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求出a、c，將解析式配成頂點(diǎn)式即可得到對(duì)稱軸方程和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先由C、M兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線CM解析式，進(jìn)而求出D點(diǎn)坐標(biāo)，由于C、N兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，則CN∥AD，同時(shí)可求出N點(diǎn)坐標(biāo)，然后得出CN=AD，結(jié)論顯然；
（3）設(shè)出P點(diǎn)縱坐標(biāo)，表示出MP的長(zhǎng)度，過點(diǎn)P作PH⊥DM于H，表示出PH的長(zhǎng)度，在直角三角形PAE中用勾股定理列出方程，解之即得答案．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)M（1，4）；
（2）如圖1，

∵點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為N，
∴N（2，3），
∵直線y=kx+b經(jīng)過C、M兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴y=x+3，
∵y=x+3與x軸交于點(diǎn)D，
∴D（-3，0），
∴AD=2=CN
又∵AD∥CN，
∴CDAN是平行四邊形；
（3）設(shè)P（1，a），過點(diǎn)P作PH⊥DM于H，連接PA、PB，如圖2，

則MP=4-a，
又∠HMP=45°，
∴HP=AP=$\frac{4-a}{\sqrt{2}}$，
Rt△APE中，AP²=AE²+PE²，
即：$（\frac{4-a}{\sqrt{2}}）^{2}={a}^{2}+4$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-4+2\sqrt{6}}\\{{a}_{2}=-4-2\sqrt{6}}\end{array}\right.$，
∴P₁（1，-4+2$\sqrt{6}$），P₂（1，-4-2$\sqrt{6}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)解析式、求拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、圓的切線性質(zhì)、勾股定理、解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．第（3）問的直線與圓相切問題往往轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離與半徑相等來解決．