Question

（2005•黑龍江）如圖所示，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，AB=25，頂點C在y軸的負半軸上，tan∠ACO=，點P在線段OC上，且PO、PC的長（PO＜PC）是關于x的方程x²-（2k+4）x+8k=0的兩根．
（1）求AC、BC的值；
（2）求P點坐標；
（3）在x軸上是否存在點Q，使以點A、C、P、Q為頂點的四邊形是梯形？若存在，請直接寫出直線PQ的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)tan∠ABC=-，可設AC=3a，BC=4a則AB=5a，5a=25，a=5，所以AC=15，BC=20；
（2）根據(jù)面積公式可求得OC=12，因為PO+PC=4+2k=12，所以k=4，根據(jù)PO、PC的長（PO＜PC）是關于x的方程x²-（2k+4）x+8k=0的兩根．可求得PO=4，即P（0，-4）；
（3）根據(jù)梯形的性質(zhì)求出點Q的坐標分為兩種情況：②AP平行于CQ，②AC平行于PQ，先分別求出AP和AC的解析式y(tǒng)_AP=-x-4和y_AC=-x-12，結(jié)合兩直線平行時，k的值相等，求出對應的Q坐標，結(jié)合點P的坐標利用待定系數(shù)法可求得直線PQ解析式為：y=-x-4或y=-x-4．
解答：解：（1）∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴∠ACO=∠ABC，
∴tan∠ABC=-，
Rt△ABC中，設AC=3a，BC=4a，
則AB=5a，5a=25，
∴a=5，
∴AC=15，BC=20．

（2）∵S_△ABC=AC•BC=OC•AB，
∴OC=12∴PO+PC=4+2k=12，
∴k=4，
∴方程可化為x²-12x+32=0，解得x₁=4，x₂=8；∵PO＜PC，
∴PO=4，∴P（0，-4）．

（3）存在，直線PQ解析式為：y=-x-4或y=-x-4，
說明：如果學生有不同于本參考答案的解題方法，只要正確，可參照本評分標準，酌情給分．
點評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．