Question

（2012•雅安）已知⊙O的弦CD與直徑AB垂直于F，點(diǎn)E在CD上，且AE=CE．
（1）求證：CA²=CE•CD；
（2）已知CA=5，EA=3，求sin∠EAF．

Answer 1

分析：（1）由⊙O的弦CD與直徑AB垂直于F，根據(jù)垂徑定理，易證得∠C=∠D，又由AE=CE，根據(jù)等邊對(duì)等角，可得∠C=∠CAE，即可得∠CAE=∠D，又由∠C是公共角，即可證得△CEA∽△CAD，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得結(jié)論；
（2）由CA²=CE•CD；CA=5，EA=3，可求得CD的長(zhǎng)，然后由垂徑定理，求得CF的長(zhǎng)，繼而求得EF的長(zhǎng)，然后由正弦函數(shù)的定義，求得答案．

解答：（1）證明：在△CEA和△CAD中，
∵弦CD⊥直徑AB，
∴

AC

=

AD

，
∴∠D=∠C，
又∵AE=EC，
∴∠CAE=∠C，
∴∠CAE=∠D，
∵∠C是公共角，
∴△CEA∽△CAD，
∴

CA

CD

=

CE

CA

，
即CA²=CE•CD；

（2）解：∵CA²=CE•CD，AC=5，EC=3，
∴5²=CD•3，
解得：CD=

25

3

，
又∵CF=FD，
∴CF=

1

2

CD=

1

2

×

25

3

=

25

6

，
∴EF=CF-CE=

25

6

-3=

7

6

，
在Rt△AFE中，sin∠EAF=

EF

AE

=

7 6

3

=

7

18

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．