Question

如圖．已知反比例函數(shù)的圖象與二次函數(shù)y=ax²+x-3的圖象相交于點A（4，5）
（1）求a和k的值；
（2）反比例函數(shù)的圖象是否經(jīng)過二次函數(shù)圖象的頂點？說明理由．
（3）若二次函數(shù)圖象與x軸交于B、D兩點，與y軸交于點C．問：反比例函數(shù)的圖象上是否存在一點P，使△PBD的面積等于四邊形ABCD面積的2倍？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點A（4，5）分別代入二次函數(shù)和反比例函數(shù)即可求出a和k的值；
（2）利用配方法求出二次函數(shù)的頂點坐標，再代入反比例函數(shù)驗證即可知道反比例函數(shù)的圖象是否經(jīng)過二次函數(shù)圖象的頂點；
（3）令y=0，則有x²+x-3=0，求出點D和B的坐標，進而求出四邊形ABCD 的面積，設三角形PBD的高為h，有條件求出h的值即可求出點的坐標．
解答：解：（1）∵反比例函數(shù)的圖象與二次函數(shù)y=ax²+x-3的圖象相交于點A（4，5），
∴5=16a+4-3，5=，
解得：a=，k=20；

（2）反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過二次函數(shù)圖象的頂點，
由（1）知，二次函數(shù)和反比例函數(shù)的關系式分別是：
y=x²+x-3和y=，
∵y=x²+x-3=（x+2）²-4，
∴二次函數(shù)的頂點坐標是（-2，-4）
∵x=-2時，y==-10≠-4，
∴反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過二次函數(shù)圖象的頂點；

（3）存在．
令y=0，則有x²+x-3=0，
∴x²+4x-12=0
解得：x₁=-6，x₂=2，
∴D（-6，0），B（2，0）
∵C（0，-3）
∴S_ABCD=S_△ABD+S_△BDC=×8×（3+5）=32，
∵S_△PBD=×8×h，
當4h=2×32時，h=16，
∴當y=±16時，=±16，x=±，
∴反比例函數(shù)的圖象存在兩點P₁（，16），P₂（-，-16）使得△PBD的面積等于四邊形ABCD面積的2倍．
點評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的圖象上點的坐標特征，三角形的面積等知識點的理解和掌握，能熟練地運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，此題是一個拔高的題目，有一定的難度．